随机过程总复习.ppt

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1、第二章随机过程1求随机过程的一维、二维分布例1：利用重复抛掷硬币的试验定义一个随机过程出现正面与反面的概率相等。第二章课后作业题例2.其中A具有以下概率分布试求(1)该S.P.的一维分布函数(2)该S.P.的二维分布函数解例3设随机过程X(t)=A+Bt,t≥0,其中A,B是相互独立的随机变量,且都服从标准正态分布N(0,1).求该随机过程的一维和二维分布解对任意的t≥0,X(t)=A+Bt,由题意知X(t)是正态分布.又E[X(t)]=0,D[X(t)]=1+t2所以S.P.的一维分布为X(t)～N(0,1+t2)又对任意的t1≥0,t2≥0,X(t1)=A+Bt1～

2、N(0,1+t12),X(t2)=A+Bt2～N(0,1+t22),(定理正态变量的线性变换是正态变量)page24定理1.5.3(3)由A,B独立知,(A,B)服从二维正态分布所以(X(t1),X(t2))也服从二维正态分布所以协方差矩阵为而(X(t1),X(t2))的均值向量为μ=(0,0)所以该S.P.的二维分布为第二章随机过程2求随机过程的数字特征均值函数，相关函数例1：第二章作业题例2：设S.P.X(t)=acos(ωt+Θ).a,ω常数,Θ~U[0,2π]求该过程的均值函数,相关函数,方差函数.解第二章随机过程3.判断一个过程为正态过程举例（书上例题）Pag

3、e51独立的r.v.，且都服从正态分布N(0,σ2),ω是常数．设S.P.试证明该过程是正态过程，并求它的有限维分布．,其中A,B为相互证明Wiener过程为正态过程第二章随机过程4.Possion过程的数字特征时间间隔的分布Poisson过程定义若计数过程{N(t),t≥0}满足是平稳的独立增量过程服从参数是λt的Poisson分布,即则称计数过程{N(t),t≥0}是参数(强度,比率)为λ的Poisson过程.定理设{N(t),t≥0}是参数为λ的Poisson过程，则定理(到达时间间隔分布)设{N(t),t≥0}是参数为λ的Poisson过程，是其到达时间间隔序列

4、，则是相互独立同服从参数为λ的指数分布．证明独立性由于poisson过程是平稳的独立增量过程,所以相邻两随机点到达时间间隔是相互独立的，故相互独立.下证同分布T1,T2的独立性平稳性T1,T2…Tn的独立性平稳性得证第二章随机过程5.复合Possion过程的数字特征定义设{N(t),t≥0}是参数为λ的Poisson过程,{Yk.k=1,2,…}是一列独立同分布的随机变量,且与{N(t),t≥0}独立称{X(t),t≥0}为复合Poisson过程.例子：（课后作业题）一家庭主妇用邮局订阅来销售杂志，她的顾客每天按比率ω＝6的Possion过程来订约，他们分别1/2,1/

5、3,1/6的概率订阅一年，二年或三年，每个人的选择是相互独立的，对于每次订阅，在安排了订阅后，订阅一年，她得到1元手续费，令X(t)表示她在[0,t]内从销售订阅得到的总手续费，求X(t)的均值函数和方差函数第三章随机分析1.均方连续、均方可导、均分积分的判别准则以及三者之间的关系均方连续准则{X(t),t∈T}在t0处均方连续的充要条件是其相关函数RX(s,t)在(t0,t0)处连续.均方可导准则{X(t),t∈T}均方可导的充要条件是对任意的t∈T,RX(s,t)在（t,t)处一阶偏导数存在，二阶偏导数存在且连续．均方可积准则在[a,b]上均方可积的充分条件是下列二

6、重积分存在第三章随机分析2.均方随机微分方程的求解举例1.一阶线性随机微分方程试求此微分方程的解,解的均值函数,相关函数以及一维概率密度函数解由公式解为2.求解下列随机微分方程，并求其解的数字特征其中g是常数.解由公式解为第四章平稳过程证明过程是严平稳过程或宽平稳过程.定理：若{X(t),t∈T}是正态过程,则{X(t),t∈T}是严平稳过程的充要条件是{X(t),t∈T}是宽平稳过程.例:设是参数为的Wiener过程，令其中为常数，试证明：是严平稳过程.第四章平稳过程2.判断过程的各态历经性第五章马尔可夫过程5.3节11个定理的证明考一个证明一个过程是齐次马尔可夫过程

7、求转移概率判断状态类别与周期分解求平稳分布，并判断平稳分布是否唯一例1：设{Yn,n=0,1,2….}是直线上的整数格子点上的随机游动，即则{Yn,n=0,1,2….}是一齐次马尔可夫链证明：S＝{…,-2,-1,012…..},例2：甲乙两人进行一种比赛，设每局比赛甲胜的概率是p,乙胜的概率是q，和局的概率是r，且p+q+r=1,设每局比赛胜者记1分，负者记－1分，和局记零分。当有一人获得2分时比赛结束。以Xn表示比赛至n局时甲获得的分数，则{Xn,n=1,2….}是齐次马尔可夫链.解：S＝{-2,-1,0,1,2}1)写出状态空间2)