组合数学第二章.ppt

《组合数学第二章.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第二章递推关系与母函数组合数学递推关系例一.Hanoi问题：这是个组合数学中的著名问题。N个圆盘依其半径大小，从下而上套在A柱上，如下图示。每次只允许取一个移到柱B或C上，而且不允许大盘放在小盘上方。若要求把柱A上的n个盘移到C柱上请设计一种方法来，并估计要移动几个盘次。现在只有A、B、C三根柱子可用。递推关系Hanoi问题是个典型的问题，第一步要设计算法，进而估计它的复杂性，集估计工作量。算法：N=2时第一步先把最上面的一个圆盘套在B上第二步把下面的一个圆盘移到C上最后把B上的圆盘移

2、到C上到此转移完毕ABC递推关系对于一般n个圆盘的问题，假定n-1个盘子的转移算法已经确定。先把上面的n-1个圆盘经过C转移到B。第二步把A下面一个圆盘移到C上最后再把B上的n-1个圆盘经过A转移到C上ABC递推关系上述算法是递归的运用。n=2时已给出算法；n=3时，第一步便利用算法把上面两个盘移到B上，第二步再把第三个圆盘转移到柱C上；最后把柱B上两个圆盘转移到柱C上。N=4，5，…以此类推。递推关系算法分析：令h(n)表示n个圆盘所需要的转移盘次。根据算法先把前面n-1个盘子转移到B上；然后把第n个盘子转到C上；最后再一次将B上的n-1个盘子转移到C上。n=2时，算法

3、是对的，因此，n=3是算法是对的。以此类推。于是有递推关系算法复杂度为：Fibonacci数列Fibonacci数列是递推关系的又一个典型问题，数列的本身有着许多应用。问题：有雌雄兔子一对，假定过两月便可繁殖雌雄各一的一对小兔。问过了n个月后共有多少对兔子？设满n个月时兔子对数为其中当月新生兔数目设为对。第n-1个月留下的兔子数目设为对。Fibonacci数列但即第n-2个月的所偶兔子到第n个月都有繁殖能力了。由递推关系(2-3-1)式可依次得到定义：对于序列构造一函数：母函数称函数G(x)是序列的母函数序列可记为。如若已知序列则对应的母函数G(x)便可根据定义给出。反之

4、，如若以求得序列的母函数G(x)，则该序列也随之确定。母函数例如是序列的母函数。递推关系Hanoi算法复杂度为：H(x)是序列的母函数。给定了序列，对应的母函数也确定了。反过来也一样，求得了母函数，对应的序列也就可得而知了。当然，利用递推关系(2-2-1)式也可以依次求得，这样的连锁反应关系，叫做递推关系。递推关系下面介绍如何从(2-2-1)式求得母函数H(x)的一种形式算法。所谓形式算法说的是假定这些幂级数在作四则运算时，如有限项的代数式一样。递推关系根据(2-2-1)，或利用递推关系(2-2-1)有递推关系上式左端为：右端第一项为：右端第二项为：

5、递推关系整理得这两种做法得到的结果是一样的。即：递推关系令如何从母函数得到序列？下面介绍一种化为部分分数的算法。递推关系由上式可得：即：递推关系因为：递推关系例2.求n位十进制数中出现偶数个5的数的个数。先从分析n位十进制数出现偶数个5的数的结构入手是n-1位十进制数，若含有偶数个5，则取5以外的0，1，2，3，4，6，7，8，9九个数中的一个，若只有奇数个5，则取，使成为出现偶数个5的十进制数。递推关系解：令位十进制数中出现5的数的个数，位十进制数中出现奇数个5的数的个数。故有：也有类似解释。递推关系(2-2-2)式中的表达了含有偶数个5的n位十进制数的两个组成部分。

6、表达由含有偶数个5的n-1位十进制数，令取5以外的0，1，2，3，4，6，7，8，9九个数中的一个数构成的。项表示当是含有奇数个5的n-1位十进制数，令而得是含偶数个5的n位十进制数。(2-2-2)是关于序列和的连立关系。递推关系设序列的母函数为，序列的母函数为。即：递推关系承前页：递推关系又：故得关于母函数和得连立方程组：递推关系递推关系§2.3母函数的性质§2.3母函数的性质一个序列和它的母函数一一对应。给了序列便得知它的母函数；反之，求得母函数序列也随之而定。不特别说明下面假设、两个序列对应的母函数分别为§2.3母函数的性质性质1：若则证：§2.3母函数的性质性

7、质2：若，则§2.3母函数的性质证：§2.3母函数的性质例.§2.3母函数的性质性质3：若，则证：§2.3母函数的性质§2.3母函数的性质例.已知§2.3母函数的性质类似可得：§2.3母函数的性质性质4：若收敛,且则§2.3母函数的性质§2.3母函数的性质性质5.若，则。例.则§2.3母函数的性质性质5和性质6的结论是显而易见的。性质6.若，则§2.3母函数的性质性质7.若则§2.3母函数的性质证:。§2.3母函数的性质例.已知则§2.4Fibonacci数列递推关系Fibonacci数列是递推关系的又一个典型问题，数列的本身