卢开澄组合数学--组合数学第二章

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1、第二章母函数与递推关系组合数学§2.1母函数递推关系是计数的一个强有力的工具，特别是在做算法分析时是必需的。递推关系的求解主要是利用母函数。当然母函数尚有其他用处，但这主要是介绍解递推关系上的应用。例如§2.1母函数项的系数中所有的项包括n个元素a1，a2，…an中取两个组合的全体；同理项系数包含了从n个元素a1，a2，…an中取3个元素组合的全体。以此类推。§2.1母函数若令a1=a2=…=an=1，在（2-1-1）式中项系数：中每一个组合有1个贡献，其他各项以此类推。故有：§2.1母函数另一方面：§2.1母函数比较等号两端项对应系数，可得一等式§2.1母函数同样对于，（设），用类

2、似的方法可得等式：正法如下：§2.1母函数比较等式两端的常数项，即得公式(2-1-3)§2.1母函数又如等式：令x=1可得§2.1母函数(2-1-2)式等号的两端对x求导可得：等式(2-1-5)两端令x=1，得：§2.1母函数用类似的方法还可以得到：定义：对于序列构造一函数：§2.1母函数还可以类似地推出一些等式，但通过上面一些例子已可见函数　在研究序列　　　　　　　　　　　的关系时所起的作用。对其他序列也有同样的结果。现引进母函数概念如下：称函数G(x)是序列的母函数序列可记为。如若已知序列则对应的母函数G(x)便可根据定义给出。反之，如若以求得序

3、列的母函数G(x)，则该序列也随之确定。§2.1母函数例如是序列的母函数。§2.2递推关系利用递推关系进行计数这个方法在算法分析中经常用到，举例说明如下：例一.Hanoi问题：这是个组合数学中的著名问题。N个圆盘依其半径大小，从下而上套在A柱上，如下图示。每次只允许取一个移到柱B或C上，而且不允许大盘放在小盘上方。若要求把柱A上的n个盘移到C柱上请设计一种方法来，并估计要移动几个盘次。现在只有A、B、C三根柱子可用。§2.2递推关系Hanoi问题是个典型的问题，第一步要设计算法，进而估计它的复杂性，集估计工作量。算法：N=2时第一步先把最上面的一个圆盘套在

4、B上第二步把下面的一个圆盘移到C上最后把B上的圆盘移到C上到此转移完毕ABC§2.2递推关系对于一般n个圆盘的问题，假定n-1个盘子的转移算法已经确定。先把上面的n-1个圆盘经过C转移到B。第二步把A下面一个圆盘移到C上最后再把B上的n-1个圆盘经过A转移到C上ABC§2.2递推关系上述算法是递归的运用。n=2时已给出算法；n=3时，第一步便利用算法把上面两个盘移到B上，第二步再把第三个圆盘转移到柱C上；最后把柱B上两个圆盘转移到柱C上。N=4，5，…以此类推。§2.2递推关系算法分析：令h(n)

5、表示n个圆盘所需要的转移盘次。根据算法先把前面n-1个盘子转移到B上；然后把第n个盘子转到C上；最后再一次将B上的n-1个盘子转移到C上。n=2时，算法是对的，因此，n=3是算法是对的。以此类推。于是有§2.2递推关系算法复杂度为：H(x)是序列的母函数。给定了序列，对应的母函数也确定了。反过来也一样，求得了母函数，对应的序列也就可得而知了。当然，利用递推关系(2-2-1)式也可以依次求得，这样的连锁反应关系，叫做递推关系。§2.2递推关系下面介绍如何从(2-2-1)式求得母函数H(x)的一种形式算法。所谓形式算法说的是假定这些幂级数在作四则运算时，一如有限项的代数式一样。§2.2递

6、推关系根据(2-2-1)，或利用递推关系(2-2-1)有§2.2递推关系上式左端为：右端第一项为：右端第二项为：§2.2递推关系整理得这两种做法得到的结果是一样的。即：§2.2递推关系令如何从母函数得到序列？下面介绍一种化为部分分数的算法。§2.2递推关系由上式可得：即：§2.2递推关系因为：§2.2递推关系例2.求n位十进制数中出现偶数个5的数的个数。先从分析n位十进制数出现偶数个5的数的结构入手是n-1位十进制数，若含有偶数个5，则取5以外的0，1，2，3，4，6，7，8，9九个数中的一个，若只有奇数个5，则取，使成为出现偶数个5的十进制数。§2.2递推关系解法1：令位十进制数中

7、出现5的数的个数，位十进制数中出现奇数个5的数的个数。故有：也有类似解释。§2.2递推关系(2-2-2)式中的表达了含有偶数个5的n位十进制数的两个组成部分。表达由含有偶数个5的n-1位十进制数，令取5以外的0，1，2，3，4，6，7，8，9九个数中的一个数构成的。项表示当是含有奇数个5的n-1位十进制数，令而得是含偶数个5的n位十进制数。(2-2-2)是关于序列和的连立关系。§2.2递推关系设序列的母函数为，序列的母函数为。即：§2.2递推关系承前