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1、第二课时进位制自学导引1.理解进位制的概念.3.掌握进位制及在数学中的应用.课前热身1.进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统.“满k进一”就是________,k进制的基数是________.2.将k进制的数化为十进制数的方法是:先把k进制数写成________________________________的形式,再__________________________________.3.将十进制数化为k进制数的方法是:___________即________________________________
2、,直到商为零为止,然后_____________________________就是相应的k进制数.进制k用各位上的数字与k的幂的乘积之和按照十进制数的运算规则计算出结果除k取余法用k连续去除该十进制数或所得的商把每次所得的余数倒着排成一个数名师讲解1.进位制的基本原理一个十进位制正整数N总可以写成N=an×10n+an-1×10n-1+…+a1×101+a0×100的形式,其中an,an-1,…,a1,a0都只能取0至9中的数,且an≠0,例如:365=3×102+6×101+5×100.一般来说,如果采用k进制,就
3、在右下角处注k,例如:270(k)表示270是k进制中的数,在k进制中,一定有:(1)它有k个不同的数字符号,即0,1,2,…,k-1;(2)它是“逢k进一”即每位数计满k后,向高位进1.例如:230451=2×k5+3×k4+0×k3+4×k2+5×k1+1×k0.一个k进制的正整数就是各位数码与k的幂的乘积的和,其中幂指数等于相应数码所在位数(从右往左数)减1.如果k=8,那么在八进制中,一定有:(1)基数是8,一共有0,1,2,3,4,5,6,7,这八个不同的数字;(2)它是“逢八进一”,如:7+1=10.八进制
4、的数转化为十进制的数由下面的算式给出:327(8)=3×82+2×81+7×80=215(10).如果k=16,那么一定有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F这十六个不同的数码,它是“逢十六进一”,如:F+1=10.十六进制转化为十进制可由下列算式给出:327(16)=3×162+2×161+7×160=807(10).总之将k进制转化为十进制的方法是:先将这个k进制数写成各位上的数字与k的幂的乘积之和的形式,再按照十进制数的运算规则计算出结果.如:anan-1…a1a0(k)=an×kn+a
5、n-1×kn-1+…+a1×k1+a0×k0.其中要注意的是,k的幂的最高次数是该k进制数的位数减去1,然后逐个减少1,最后是零次幂,我们称这种方法为方幂法.2.将十进制数转化为k进制数的方法——除k取余法用k连续去除该十进制各位数所得的商,直到商为零为止,然后把每次所得的余数倒看成一个数就是相应k进制数.将一个十进制数a化为k进制数b的步骤如下:第一步:将给定的十进制整数,除以基数k,余数便是等值的k进制的最低位;第二步:将上一步的商再除以基数k,余数便是等值的k进制数的次低位;第三步:重复第二步,直到最后所得商为0
6、,各次除得的余数,便是k进制各位的数,最后一次的余数是最高位.3.二进制的运算方法加法:0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=10;乘法:0×0=0,0×1=0,1×0=0,1×1=1.典例剖析题型一k进制化为十进制例1:将下列各数化为十进制数.(1)1234(5);(2)11001(2);(3)2010(8);(4)315(7).解:(1)1234(5)=1×53+2×52+3×51+4×50=125+50+15+4=194.(2)11001(2)=1×24+1×23+0×22+0×2+1×20=16+8+1=
7、25.(3)2010(8)=2×83+0×82+1×8+0=1024+8=1032.(4)315(7)=3×72+1×7+5×70=147+7+5=159.规律技巧:k进制数化为十进制数的方法:先把k进制数写成不同位上的数字与k的幂的乘积之和的形式,再按十进制数的运算规则计算出结果.变式训练1:填空:(1)1011(2)=________(10);(2)341(16)=________(10).11833题型二十进制化为k进制例2:(1)将194化为八进制数;(2)将48化为二进制数.解:(1)∴194化为八进制数为3
8、02(8).(2)∴48化为二进制数为110000(2).规律技巧:将十进制化为k进制的方法是:除k取余法,即用k连续去除十进制数或所得的商,直到商为零为止,然后把各步得到的余数倒着写出就是相应的k进制数.变式训练2:填空:(1)103化成五进制数为________;(2)52化成四进制数为________.403(5)310(4
