计算物理 蒙特卡罗方法基础.ppt

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1、计算机模拟方法(1)蒙特卡洛方法：随机性模拟方法或统计试验方法，又称蒙特卡洛(MonteCarlo)方法。它是通过不断产生随机数序列来模拟过程。自然界中有的过程本身就是随机的过程，物理现象中如粒子的衰变过程、粒子在介质中的输运过程...等。当然蒙特卡洛方法也可以借助概率模型来解决不直接具有随机性的确定性问题。(2)分子动力学方法：确定性模拟方法。它是通过数值求解一个个的粒子运动方程来模拟整个系统的行为。在统计物理中称为分子动力学（MolecularDynamics）方法。(3)离散型模拟方法--元胞自动

2、机等1WhatisaMonteCarlomethod?2-1蒙特卡罗方法的基础知识theComtedeBuffonneedleexperiment,AD1777SSSL2StanislawUlam(1909-1984)NicholasMetropolis(1915-1999)蒙特卡洛方法的起源3TheNameoftheGameMetropoliscoinedthename“MonteCarlo”,fromitsgamblingcasino.Monte-Carlo,Monaco4从蒙特卡洛模拟的应用来看

3、，该类型的应用可以分为三种形式：（1）直接蒙特卡洛模拟。它采用随机数序列来模拟复杂随机过程的效应。（2）蒙特卡洛积分。这是利用随机数序列计算积分的方法。积分维数越高，该方法的积分效率就越高。（3）Metropolis蒙特卡洛模拟这种模拟是以所谓“马尔科夫”（Markov）链的形式产生系统的分布序列。该方法可以使我们能够研究经典和量子多粒子系统的问题。5一基本思想直接蒙特卡洛模拟法：对求解问题本身就具有概率和统计性的情况。如：中子在介质中的传播，核衰变过程等，思想是按照实际问题所遵循的概率统计规律，用计算

4、机进行直接的抽样试验，然后计算其统计参数。该方法也就是通常所说的“计算机实验”。间接蒙特卡洛方法：蒙特卡洛方法也可以人为地构造出一个合适的概率模型，依照该模型进行大量的统计实验，使它的某些统计参量正好是待求问题的解。6代表了该运动员的成绩。换言之，为积分的估计值，或近似值。现假设该运动员进行了N次射击，每次射击的弹着点依次为r1，r2，…，rN，则N次得分g(r1)，g(r2)，…，g(rN)的算术平均值例1射击问题（打靶游戏）--直接蒙特卡洛方法环数78910击中次数10103050概率0.10

5、.10.30.5假设射击100次，平均成绩7设r表示射击运动员的弹着点到靶心的距离，g(r)表示击中r处相应的得分数（环数），f(r)为该运动员的弹着点的分布密度函数，它反映运动员的射击水平。该运动员的射击成绩为用概率语言来说，g(r)是随机变量，的数学期望，即在该例中，用N次试验所得成绩的算术平均值作为数学期望的估计值（积分近似值）。8(1)巴夫昂(Buffon)投针实验实验方案：在平滑桌面上划一组相距为s的平行线，向此桌面随意地投掷长度l的细针，那末从针与平行线相交的概率就可以得到π的数

6、值。SSSL例2圆周率的数值计算--间接蒙特卡洛方法9数学统计理论计算：SAB针的投影长度确定的，相交的概率的平均值假如在N次投针中，有M次和平行线相交。当N充分大时，相交的频数M/N就近似为细针与平行线相交的概率。10经过n次投针后得到π值的精度针与平行线相交的概率针与平行线相交的次数应满足二项式分布其期望值为的方差的标准误差的标准误差相交和不相交11这意味着试验所得的值的不确定性的范围如下：对100次投针为，0.2374对10,000次投针为，0.0237对1,000,000次投针为，0.0024可

7、见，增加模拟的次数可以减小误差，但不可消除误差。的标准误差12实验者年份投计次数π的实验值沃尔弗(Wolf)185050003.1596斯密思(Smith)185532043.1553福克斯(Fox)189411203.1419拉查里尼(Lazzarini)190134083.1415929前人进行了实验，其结果列于下表：13(2)投点法实验实验方案：在平滑桌面上划正方形，同时划一内切圆，向此正方形随意地投点，那末投点落在圆内的概率就可以得到的π数值。2L任意投点落在圆内的概率14的标准误差的标准误差的

8、标准误差的标准误差投针实验的误差分析投点实验的误差分析对100次投针为，0.1642对10,000次投针为，0.0164对1,000,000次投针为，0.001615投点法实验程序流程图产生随机数YesYes16programmainusefreconstantuserandomnameimplicitnoneintegernmax,mintegeri,ncountreal*8lenr,lens,lenr2real*8x,y,dxy2ope