蒙特卡罗方法ppt课件.ppt

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1、2.1蒙特卡洛方法(MonteCarlosimulation)引言(introduction)MC基本思想MC收敛性及误差MC特点一、两种自然现象确定性的：日月升落，四季轮回，磁石吸铁不确定的：掷骰子，炮弹落点，考试成绩二、两种研究方法确定性问题:解析,有限元,分子动力学,Monte-Carlo随机性问题：Monte-Carlo，布朗动力学1.引言计算机模拟：(1)随机模拟方法或统计试验方法，又称蒙特卡洛(MonteCarlo)方法。它是通过不断产生随机数序列来模拟过程。自然界中有的过程本身就是随机的过程，物理现象中如粒子的衰变过程、粒子在介质中的输运过程等。当然蒙特卡洛方法也可以借助

2、慨率模型来解决不直接具有随机性的确定性问题。(2)确定性模拟方法。它是通过数值求解一个个的粒子运动方程来模拟整个系统的行为。在统计物理中称为分子动力学（MolecularDynamics）方法。此外,近年来还发展了神经元网络方法和原胞自动机方法。1.引言MC方法，分为三种类型：（1）直接蒙特卡洛模拟。它采用随机数序列来模拟复杂随机过程的效应。（2）蒙特卡洛积分。这是利用随机数序列计算积分的方法。积分维数越高，该方法的积分效率就越高。（3）Metropolis蒙特卡洛模拟。这种模拟是以所谓“马尔科夫”（Markov）鏈的形式产生系统的分布序列。该方法可以使我们能够研究经典和量子多粒子系统

3、的问题。1.引言MonteCarlo方法：亦称统计模拟方法，statisticalsimulationmethod利用随机数进行数值模拟的方法MonteCarlo名字的由来：是由Metropolis在二次世界大战期间提出的：Manhattan计划，研究与原子弹有关的中子输运过程；MonteCarlo是摩纳哥（monaco)的首都，该城以赌博闻名NicholasMetropolis(1915-1999)Monte-Carlo,Monaco1.引言MonteCarlo方法简史简单地介绍一下MonteCarlo方法的发展历史1、Buffon投针实验：1768年，法国数学家ComtedeBu

4、ffon利用投针实验估计的值dL1.引言1.引言1.引言1.引言2、1930年，EnricoFermi利用MonteCarlo方法研究中子的扩散，并设计了一个MonteCarlo机械装置，Fermiac,用于计算核反应堆的临界状态3、VonNeumann是MonteCarlo方法的正式奠基者,他与StanislawUlam合作建立了概率密度函数、反累积分布函数的数学基础，以及伪随机数产生器。在这些工作中，StanislawUlam意识到了数字计算机的重要性合作起源于Manhattan工程：利用ENIAC(ElectronicNumericalIntegratorandCompute

5、r)计算产额1.引言MC的统计基础-随机变量及其分布定义随机变量X={xi}，概率分布F(x)是X的函数离散分布：连续分布：f(x)为概率分布密度数学期望：和方差：1.引言MC的统计基础-大数定理设x1,x2,,xn,为一随机变量序列,相互独立,具有同样分布,且E(xi)=a存在,则对任意小量>0,有统计含义：不论随机变量的分布如何,只要n足够大,则算术平均与数学期望值可无限接近,也就是说,算术平均以几率收敛于其数学期望值.1.引言MC的统计基础-中心极限定理设x1,x2,,xn,为一随机变量序列,相互独立,具有同样分布,且E(xi)=μ,D(xi)=2存在,则统计含义：如

6、果一个随机变量X，是由大量相互独立的因素的影响形成的，其中每一个因素在总的影响中所起作用都是微小的（被稀释），这种随机变量近似地服从正态分布1.引言MC的基础–随机过程1定义，X＝X(x,t)随时间变化的随机变量，或时间随机变量序列2按分布函数，分类a)平稳随机过程b)Markov过程c)独立增量随机过程d)独立随机过程1.引言MC的基础-平稳随机过程1定义：X(t),如果它的n维（n个状态）概率密度与初始分布无关，即对任何n和t’满足fx(x1,x2,…,xn;t1,t2,..,tn)=fx(x1,x2,…,xn;t1+t’,t2+t’,..,tn+t’)含义：平稳随机过程的统计特性

7、与所选择的时间起点无关，不随时间的推移而变化，即是“时间平稳的”。2统计特性1）一维概率密度与时间无关2）二维概率密度，只与两个状态对应的时间间隔Δt有关，其时间自相关仅是Δt的函数3应用：电阻的热噪声，电子信号，…1.引言MC的基础-Markov链1定义：在可列个离散状态x1,x2,..xN和离散时间t1,t2,..tn,若随机过程在tm+k时刻变成任一状态xi的概率，只与tm时刻的状态有关(无后效)，而与此前状态无关，称离散随机序列P{Xm