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1、§5.3复数的加法与减法一、复数加减法的运算法则：1.运算法则:设复数z1=a+bi,z2=c+di,那么z1+z2=(a+c)+(b+d)i;z1-z2=(a-c)+(b-d)i.即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).2.复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3∈C,有z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).3.易证:4.例题选讲例1:(1-2i)-(2-3i)+(3-4i)-…-(2002-2003i).解:原式=(1-2+3-4+…+2001-2
2、002)+(-2+3-4+…-2002+2003)i=-1001+1001i.例2:若f(z)=z,z1=3+4i,z2=-2+i,求f(z1-z2)的值.解:因为z1-z2=(3+4i)-(-2+i)=5+3i,故f(z1-z2)=(z1-z2)=z1-z2=5+3i.说明:这里用到一个复数的共轭复数的共轭复数等于它自身.例3:已知,且z1+z2对应的点位于第二象限,求的范围.解:由已知得:例4:设复数z满足求z的值和的取值范围.解:设z=a+bi(a,b∈R),则代入条件式得4(a+bi)+2(a-bi)=+i,即
3、6a+2bi=i.故所求的z=的取值范围是[0,2].二、复数加减法的几何意义：1.复数的加法可以按向量的加法法则进行,即遵循平行四边形法则.2.两个复数的差z1-z2(即OZ1-OZ2)与连结两个向量终点并指向被减数的向量对应.3.两点间的距离公式(1)设复数z1、z2在复平面内对应的点分别为Z1、Z2,则Z1、Z2两点间的距离公式为d=
4、z1-z2
5、.(2)以复数p的对应点为圆心,r为半径的圆的方程为:
6、z-p
7、=r.(3)以复数z1、z2的对应点为端点的线段的垂直平分线方程为:
8、z-z1
9、=
10、z-z2
11、.(4)方
12、程
13、z-z1
14、+
15、z-z2
16、=2a,当
17、z1-z2
18、<2a时表示以z1、z2的对应点为焦点,2a为长轴长的椭圆;若
19、z1-z2
20、=2a,则以z1、z2的对应点为端点的线段.(5)方程
21、z-z1
22、-
23、z-z2
24、=2a,当
25、z1-z2
26、>2a时表示以z1、z2的对应点为焦点,2a为实轴长的双曲线.若
27、z1-z2
28、=2a,则表示两条射线.4.复数模的两个重要性质:5.要会运用复数的几何意义去解题,它包含两个方面:(1)利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理;(2)反过来,对于一些复数运算式也可以给以几何解释,使
29、复数作为工具运用于几何之中.例如:已知复数z1、z2、z1+z2分别对应点A、B、C,O为原点,且
30、z1+z2
31、=
32、z1-z2
33、,判断四边形OACB的形状.把关系式
34、z1+z2
35、=
36、z1-z2
37、给以几何解释为:平行四边形的两对角线相等,故四边形OACB是矩形.6.例题选讲例1:已知平行四边形OABC的三个顶点O、A、C对应的复数分别为0,3+2i,-2+4i,试求:①AO表示的复数;②CA表示的复数;③B对应的复数.解:①AO=-OA,故AO表示的复数为-(3+2i)=-3-2i.②利用CA=OA-OC,得CA表示的复
38、数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.③OB=OA+AB=OA+OC,故OB表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i,即B点对应的复数为1+6i.例2:已知复平面上ΔAOB(O为坐标原点)的顶点A所对应的复数为1+2i,其重心G所对应的复数为1+i,求以OA、OB为邻边的平行四边形的对角线长.解:设B所对应的复数为a+bi,则O(0,0),A(1,2),B(a,b),重心G(1,1).由三角形的重心坐标公式得:解得a=2,b=1,故B所对应的复数为2+i.由复数的加减法的几何意义知,所求的对角线长分别为
39、:例3:已知复平面上正方形ABCD的三个顶点A(1,2),B(-2,1),C(-1,-2),求第四个顶点D对应的复数.ABCDxyO注:解此题的关键利用复数、点、向量之间的一一对应关系.解:设D(x,y),则有AD=OD-OA=(x+yi)-(1+2i)=(x-1)+(y-2)i;BC=OC-OB=(-1-2i)-(-2+i)=1-3i.因为AD=BC,所以故D点对应的复数为2-i.例4:已知复数z满足
40、z-2
41、=2,求
42、z-2+3i
43、的最大值.解1:设z=x+yi(x,y∈R),则由
44、z-2
45、=2,得(x-2)2+y
46、2=4.解2:
47、z-2
48、=2表示复数z对应的点是以C(2,0)为圆心,2为半径的圆.OC2xy而
49、z-2+3i
50、表示圆上的点到点A(2,-3)的距离.A(2,-3)-3连结AC并延长交圆上一点Z,则
51、AZ
52、为所求的最大值.Z所以当z=2+2i时,
53、z-2+3i
54、的最大值是5.解3:利用求之.练习1:已知平行四边形的三个顶点分别为对
