离散信号与系统Z域分析-8.ppt

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1、F(z)称为序列f(k)的像函数，f(k)称为函数F(z)的原函数。它们间的关系记作8-1离散信号的Z变换一、Z变换的定义第八章离散信号与系统Z域分析当序列f(k)不满足绝对可和条件时，可采取给f(k)乘以因子r–k(k为实常数)的办法，得到一个新的序列f(k)r–k，使其满足条件，则其傅里叶变换就存在了。r–k称为收敛因子。f(k)r–k的离散傅里叶变换为引入一个新的变量z=rej，对于离散时间信号f(k)，其Z变换定义为1对于因果序列，它的双边Z变换和单边Z变换是相等的。F(z)是关于z−1的幂级数，z−k的系数是f(k)。在连续时间信号的变换域分析中，

2、当复变量s的实部为零时，拉普拉斯变换就演变为傅里叶变换。在复平面上，在虚轴j上的拉氏变换就是傅氏变换。将双边Z变换的定义式展开上述定义的Z变换称为双边Z变换。如果仅考虑k≥0时的序列f(k)值，则可定义单边Z变换为在离散时间信号的变换域分析中，当z的模为1时，Z变换就演变为离散傅里叶变换。在复平面上，半径为1的圆上的Z变换就是离散傅氏变换。2二、收敛域(ROC)对于任意给定的有界序列f(k)，能使收敛的所有z值的集合称为Z变换f(z)的收敛域。例：F(z)是z−1的无穷幂级数，该级数收敛的充分必要条件是当

3、az−1

4、<1时幂级数收敛，即Z变换的收敛域为3例：

5、例：收敛域为收敛域为4例:结论：1）收敛域取决于f(k)和z平面取值范围；2）收敛域内不包含任何极点（以极点为边界）；3）双边Z变换F(z)与f(k)没有一一对应；4）有限长序列收敛域至少为：0

6、z

7、>R1的圆外；6)左边序列收敛域为

8、z

9、

10、z

11、

12、z

13、>1的单位圆外。3、单边指数序列akU(k)5、复指数序列ejbkU(k)ROC为

14、z

15、>

16、a

17、的

18、圆外。ROC为

19、z

20、<

21、a

22、的圆外。ROC为

23、z

24、>1的单位圆外。6对连续时间信号f(t)以时间间隔T进行理想抽样四、拉氏变换与Z变换关系取一新的复变量z，令复变量z与s的关系为对fs(t)进行双边拉普拉斯变换则于是有7可得s平面与z平面的映射关系：由•s平面的原点(=0,=0),映射为z平面z=1(r=1,=0)的点；•s平面的左半平面(<0)，映射为z平面的单位圆内(r<1)；•s平面的右半平面(>0)，映射为z平面的单位圆外(r>1)；•s平面的虚轴(=0)，映射为z平面的单位圆(r=1)；•s平面的实轴(=0)，映射为z平面的正实轴(=

25、0)；•s平面过j(2n+1)0/2的各条平行线，映射为z平面上的负实轴(=±)。注意：z~s映射不是单值的。81、线性特性：表现为叠加性和齐次性则其中：a,b为任意常数，收敛域为两个函数收敛的公共部分。8-2Z变换的基本性质若例：解：92、移位性（1）双边Z变换k域移位±m，z域乘z±m，收敛域不变。（2）单边Z变换若f(k)U(k)F(z)，

26、z

27、>r则当f(k)为双边序列时，有则当f(k)为因果序列时，有10单边Z变换在0~的k域进行，它先移位，后舍去k<0部分，移位后的序列f(k−m)U(k)、f(k+m)U(k)比序列f(k)U(k)长度有

28、所增减。证明:设f(k)为双边序列，由单边Z变换定义可得11例:求下列序列的Z变换。解：推广:123、z域尺度变换性：例:则解：134、Z域微分性推广:则例:解：145、Z域积分性式中m为整数，k+m>0。当m=0时，有例:解：15例：6、时域折叠性则7、时域卷积定理收敛域为两个函数收敛的公共部分。解：168、时域部分和收敛域为

29、z

30、>1与r1<

31、z

32、

33、能是z=1，且是一阶的。17例：设序列f(k)的Z变换为求f(0)，f(1)，f()。解：根据初值定理根据终值定理188-3Z反变换Z变换Z反变换的计算方法：幂级数展开法、部分分式展开法、留数法Z反变换一、幂级数展开法根据Z变换的定义，只要在给定的收敛域内将F(z)展开成z−1的幂级数，则级数的系数就是序列f(k)相应值。方法：将F(z)的分子和分母按z的幂次序排列后长除。19例：求下列函数的z反变换。右序列：收敛域为

34、z

35、>a0，将F(z)以z的降幂排列,然后进行长除。左序列：收敛域为

36、z

37、

38、可得则20为左序列，升幂长除可得则21