离散信号Z域分析

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1、第八章Z变换、离散时间系统的Z域分析◆离散信号的Z变换；◆常用序列z变换；◆z变换的基本性质；◆z变换的逆变换；◆z域系统函数H(z)；◆离散系统的稳定性。一、z变换的导出抽样信号的拉氏变换→离散信号的z变换对xs(t)取拉氏变换x(t)p(t)xs(t)8.1离散信号的Z变换二、离散信号的Z变换的定义记作F(Z)=Z{f(n)}z反变换记作三、常用序列z变换1．单位序列δ（n）2．单位阶跃序列u(n)3、斜变序列已知两边同时乘以z-1，可得同理可得n是离散变量，所以对n没有微积分运算；z是连续变量，所以对z有微积分运算。4、指数序列1．右边序列注意：z变换相同时，左边序列的定义。四、收敛域

2、1、收敛域的定义收敛的所有z值之集合为收敛域。对于任意给定的序列x(n)，能使ROC:Regionofconvergence不同的x(n)的z变换，由于收敛域不同，可能对应于相同的z变换，故在确定z变换时，必须指明收敛域。2、两种判定法（1）比值判定法若有一个正项级数，则：<1：收敛=1：可能收敛也可能发散>1：发散即令正项级数的一般项的n次根的极限等于，则<1：收敛=1：可能收敛也可能发散>1：发散（2）根值判定法〔例8.1.1〕求下离散时间信号z变换的收剑域：解：z平面：因Z是一个复变量，其取值可在一个复平面上表示，且该复平面称为z平面。若该序列收敛，则要求即收敛域为：收敛

3、域为：所以，收敛域为的z平面。结论：(1)z变换收敛域取决于序列f(n)和z值；(2)F(Z)与f(n)不一定一一对应，只有和其收敛域一起才可确定序列；(3)右序列变换的收敛域为半径为ρ的圆外区域；(4)左序列变换的收敛域为半径为ρ的圆内区域；(5)双边序列z变换的收敛域为ρ1，ρ2圆环域内；(6)有限长双边序列z变换的收敛域为（0，∞）。求z逆变换的方法一般有查表法、幂级数展开法、部分分式法。8.2Z变换的逆变换一、定义：z变换式一般是z的有理函数，可表示为：直接用长除法进行逆变换（是一个z的幂级数）二、幂级数展开法右边序列的逆z变换左边序列的逆z变换〔例8.2.1〕解:(n)(n)(n)

4、u(n-1)nn〔例8.2.2〕解:将F(Z)的分子、分母按z的降幂次序排列为(n)(n)(n)n三、部分分式展开法基本步骤：f(n)〔例8.2.3〕解:f(n)〔例8.2.4〕已知求其z反变换。解:因…〔例8.2.5〕解28.3z变换的基本性质一、线性收敛域至少是两个函数收敛的公共部分〔例8.3.1〕求余弦序列cosnω0u(n)的z变换。解:同理1、双边z变换的位移性质二、移位性2、单边z变换的位移性质若x(n)为双边序列，其单边z变换为(1)左移位性质特例：(2)右移位性质而左移位序列的单边z变换不变。特例：解:方程两边取z变换带入边界条件整理为三、Z域微分(序列线性加权)共求导m次〔

5、例8.3.3〕求下列序列的z变换：解:四、部分和五、Z域积分性六、时域折叠性〔例8.3.4〕求下列序列的z变换：解:(1)由z域积分性，得(2)因为七、z域尺度变换（序列指数加权）同理证明：八、初值定理推理x(1)＝？九、终值定理解：[例8.3.5]十、时域卷积定理收敛域：一般情况下，取二者的重叠部分即注意：如果在某些线性组合中某些零点与极点相抵消，则收敛域可能扩大。[例8.3.6]解：z平面与s平面的映射关系一．应用z变换求解差分方程1、步骤：(1)对差分方程进行单边z变换（移位性质）(2)由z变换方程求出响应Y(z)；(3)求Y(z)的反变换，得到y(n)。8.4离散系统Z域分析2、差分

6、方程响应y(n)的起始点确定全响应y(n)根据输入信号加上的时刻定对因果系统y(n)不可能出现在x(n)之前观察Y(z)分子分母的幂次分母高于分子的次数是响应的起点解：方程两端取z变换[例8.4.1]已知系统的差分方程为：若边界条件为y(-1)=1,求系统的完全响应。[例8.4.2]解：已知系统框图列出系统的差分方程。求系统的响应y(n)。（1）列差分方程，从加法器入手（3）差分方程两端取z变换，利用右移位性质（2）a.由激励引起的零状态响应零状态响应为即b.由储能引起的零输入响应零输入响应为c.整理（1）式得全响应1、单位样值响应与系统函数（1）定义二、z域系统函数H(z)推导：线性时

7、不变离散系统由线性常系数差分方程描述，一般形式为激励为因果序列系统处于零状态上式两边取z变换得H（z）：离散时间系统的系统函数。只与系统的差分方程的系数、结构有关，描述了系统的特性。系统的零状态响应：（2）h(n)和H(z)为一对z变换2、H(z)的求法(1)若已知激励和其零状态响应的z变换，则根据定义式求H(z)。(2)若已知系统差分方程时，则对差分方程两边取单边z变换，并考虑到当n<0时，y(n)和x(n