第4课时数列通项与求和.ppt

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1、第三章数列第4课时数列的通项与求和要点·疑点·考点求数列的前n项和Sn，重点应掌握以下几种方法：1.倒序相加法:如果一个数列{an}，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法.2.错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法.3.分组转化法:把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法.4.裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此

2、法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法.5.公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式法求和，常用的公式有：要点·疑点·考点基础题例题1.数列{an}的前n项和Sn=n2+1，则an=_________________.2.已知{an}的前n项和Sn=n2-4n+1，则

3、a1

4、+

5、a2

6、+…

7、a10

8、=()(A)67(B)65(C)61(D)56A3.数列的前n项之和为Sn，则Sn的值得等于()(A)(B)(C)(D)A基础题例题能力·思维·方法4.求下列各数列前n项的和Sn：(1)1×4，2×5

9、，3×6，…n(n+3)…(2)(3)解题分析:(1)的通项为整式,用公式法求和;(2)的通项可化成等差数列或等比数列对应项的和(或差),用分组求和;(3)的通项是分式形式,可用裂项相消法.能力·思维·方法4.求下列各数列前n项的和Sn：(1)1×4，2×5，3×6，…n(n+3)…解:(1)∵an=n(n+3)=n2+3n∴Sn=(12+22+32+…+n2)+3(1+2+3+…+n)能力·思维·方法4.求下列各数列前n项的和Sn：(2)能力·思维·方法4.求下列各数列前n项的和Sn：(3)能力·思维·方法4.求下列各数列前n项的和Sn：(4)【解题回顾】对类似数列(3)的求和问题，

10、我们可以推广到一般情况：设{an}是公差为d的等差数列，则有特别地，以下等式都是①式的具体应用：①上述方法也称为“升次裂项法”.；能力·思维·方法5.求数列a，2a2，3a3，…，nan，…(a为常数)的前n项的和.能力·思维·方法解题分析:利用错位相减法求和,并注意对a的讨论.解:若a=0,则Sn=0若a=1,则Sn=1+2+3+…+n=若a≠0且a≠1,则Sn=a+2a2+3a3+…+(n-1)an-1+nan∴aSn=a2+2a3+3a4+………+(n-1)an+nan+1∴(1-a)Sn=a+a2+a3+…+an–nan+1a=0时,也成立5.求数列a，2a2，3a3，…，na

11、n，…(a为常数)的前n项的和.能力·思维·方法【解题回顾】若一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积组成，则求此数列的前n项和多采用错位相减法．【解题回顾】当本题解出Sn+1/Sn=(n+1)2/(n+2)n，下面要想到迭代法求Sn，(即迭乘)，同样如得出Sn+1-Sn=f(n)，可用迭差.6.已知数列{an}中的，前n项和为Sn．若Sn=n2an，求Sn与an的表达式.能力·思维·方法6.已知数列{an}中的，前n项和为Sn．若Sn=n2an，求Sn与an的表达式.能力·思维·方法解题分析：给出条件是Sn与an间的递推关系，写出相邻项作差。解：∵Sn+1=(n+1)

12、2an+1=(n+1)2(Sn+1-Sn)∴n(n+2)Sn+1=(n+1)2Sn误解分析2．求数列前n项和时，一定要数清项数，选好方法，否则易错．1.求数列通项时，漏掉n=1时的验证是致命错误.