高中数学第三章数系的扩充和复数的引入3.2复数代数形式的四则运算3.2.2复数代数形式的乘除运算讲义.docx

《高中数学第三章数系的扩充和复数的引入3.2复数代数形式的四则运算3.2.2复数代数形式的乘除运算讲义.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、3．2.2　复数代数形式的乘除运算1．复数的乘法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部和虚部分别合并．2．复数的乘法运算律设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i，有交换律：z1·z2＝z2·z1；结合律：(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)；分配律：z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.3．共轭复数一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数

2、时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数．4．复数除法的法则(a＋bi)÷(c＋di)＝＋i(c＋di≠0)．由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数．共轭复数的性质(1)两个共轭复数的对应点关于实轴对称．(2)实数的共轭复数是它本身，即z＝⇔z∈R.利用这个性质，可以证明一个复数是实数．(3)z·＝

3、z

4、2＝

5、

6、2∈R.z与互为实数化因式．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件．(　　)(2)若z1，z2∈C，且z＋z＝0，则z1＝z2

7、＝0.(　　)(3)两个共轭虚数的差为纯虚数．(　　)答案　(1)×　(2)×　(3)√2．做一做(1)复数＝________.(2)复平面内，复数z＝(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于第________象限．(3)复数2－的共轭复数是________．答案　(1)－i　(2)四　(3)2－i探究　　复数的乘除运算例1　(1)复数－＝(　　)A．0B．2C．－2iD．2i(2)若复数z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，其中i是虚数单位，则复数(z1－z2)·i的实部为________．[解析]　(1)解法一：－＝＝＝＝2i.解法二：－＝－＝i

8、＋i＝2i.(2)(z1－z2)·i＝[(4＋29i)－(6＋9i)]·i＝(－2＋20i)·i＝－20－2i，∴(z1－z2)·i的实部为－20.[答案]　(1)D　(2)－20拓展提升(1)复数的乘法可以把i看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简．复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)．(2)实数集中的乘法公式、幂的运算律，因式分解方法等在复数集中仍成立．【跟踪训练1】　计算：(1)(－2＋3i)÷(1＋2i)；(2)(2－i

9、)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.解　(1)原式＝＝＝＝＋i.(2)原式＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝53＋21i＋2i＝53＋23i.探究　　共轭复数例2　是z的共轭复数，若z＋＝2，(z－)i＝2(i为虚数单位)，则z＝(　　)A．1＋iB．－1－iC．－1＋iD．1－i[解析]　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，又z＋＝2，即(a＋bi)＋(a－bi)＝2，所以2a＝2，解得a＝1.又(z－)i＝2，即[(a＋bi)－(a－bi)]·i＝2，所以bi2＝1，解得b＝－1.所以z＝1－i.[答案]　D拓展提升(1)复数的代

10、数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a为实部、b为虚部．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数，即z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数就是＝a－bi(a，b∈R)．(2)对于复数的四则运算：加、减、乘运算按多项式运算法则计算，除法运算需把分母实数化来进行．【跟踪训练2】　已知复数z＝1＋i，求实数a，b，使az＋2b＝(a＋2z)2.解　因为z＝1＋i，所以az＋2b＝(a＋2b)＋(a－2b)i，(a＋2z)2＝(a＋2)2－4＋4(a＋2)i＝(a2＋4a)＋4(a＋2)i.因为a，b都是实数，所以由az＋2b＝(a＋2z)2，

11、得解得或所以所求实数为a1＝－2，b1＝－1或a2＝－4，b2＝2.探究　　复数in的周期性运算例3　计算：(1)＋2020；(2)1＋i＋i2＋i3＋…＋i2019.[解]　(1)＋2020＝＋1010＝i(1＋i)＋1010＝－1＋i＋(－i)1010＝－1＋i－1＝－2＋i.(2)解法一：∵in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0，n∈N*，∴1＋i＋i2＋i3＋…＋i2019＝1＋i＋i2＋(i3＋i4＋i5＋i6)＋(i7＋i8＋i9＋i10)＋…＋(i2015＋i2016＋i2017＋i2018)＋i2019＝1＋i＋i2＋i3＝0.

12、解法二：1＋i＋i2＋…＋i2019＝＝＝＝0.拓展提升in(n∈N*)的性质根据复数乘法法则，容易得到i的n次幂的计算法则，即n∈N*时，i4n＝1