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1、第十章因子分析第一节因子分析方法第二节因子分析模型第三节因子分析模型的解第四节方差最大正交旋转第五节因子得分第一节因子分析方法因子分析概念起源于20世纪初KarlPearson和CharlesSpearmen等人关于智力测验的统计分析因子分析的基本思想是把每个研究变量分解为几个影响因素变量，将每个原始变量分解成两部分因素，一部分是由所有变量共同具有的少数几个公共因子组成的，另一部分是每个变量独自具有的因素，即特殊因子。xi=∑aijfj+ei第二节因子分析模型一、因子分析模型X*:标准化后的数据，F：公共因子，E：特殊因子假设x*、F、E满足这样一些性质：(1)E(x
2、*)=0Var(x*)=1(2)E(F)=0,cov(F)=I(3)E(E)=0,cov(E)=∑，cov(ei,F)=0x1*=a11F1+a12F2+…+a1mFm+e1x2*=a21F1+a22F2+…+a2mFm+e2…xp*=ap1F1+ap2F2+…+apmFm+epX*=AF+E或X*=F'A'+E其中X*=(x1*,x2*…,xp*)′,F=(F1,F2,…,Fm)′E=(e1,e2,…ep)′a11a12…a1pA=a21a22…a2p…ap1ap2…appA称为因子载荷矩阵或因子负荷矩阵二、因子载荷量的统计意义与性质1、因子载荷aij的统计意义xi
3、*=ai1F1+ai2F2+…+aimFm+eiCov(xi*,Fj)=cov(∑aikFk+ei,Fj)=cov(∑aikFk,Fj)+cov(ei,Fj)=aij在各公共因子不相关的前提下，aij是xi*与Fj的相关系数，表示xi*依赖于Fj的程度。反映了第i个原有变量在第j个公共因子上的相对重要性。因此，aij的绝对值越大，则公共因子Fj与原有变量Xi的关系越强。2、变量共同度及其统计意义(行平方和)因子载荷阵中第i行元素的平方和称为xi*的共同度。h12=a112+a122+…+a1m2h22=a212+a222+…+a2m2。。。hp2=ap12+ap22+
4、…+apm2hi2反映了全部公共因子对变量Xi*的影响，是全部公共因子对变量方差所做出的贡献，或者说Xi*对公共因子的共同依赖程度，称为公共因子对变量Xi*的方差贡献。Hi2接近于1，表明该变量的原始信息几乎都被选取的公共因子说明了。特殊因子的方差，反映了原有变量方差中无法被公共因子描述的比例。3、公共因子的方差贡献及其统计意义(列平方和)g1=a112+a212+…+ap12g2=a122+a222+…+ap22…gm=a1m2+a2m2+…+apm2表示第j个公共因子Fj对于X*的每一分量Xi*所提供的方差的总和。称第j个公共因子的方差贡献。是衡量公共因子相对重要
5、性的指标，gi越大，表明公共因子Fj对X*的贡献越大，该因子的重要程度越高也是衡量公共因子相对重要性的另一指标。4、正交因子载荷不具有唯一性但此公式并非唯一公式：其中：两个变量xk*与xl*的相关系数和协方差等于因子载荷阵中第k行与第l行对应元素乘积之和。例1、某校对学生进行了测量语言能力和数学能力的六项考试。考试成绩都化为标准分。假定x1*,x2*,x3*是语言能力的三项不同考试的标准分，x4*,x5*,x6*是数学能力的三项不同的标准分。通过部分学生这六项考试成绩，得到相关系数矩阵：依此得出因子载荷矩阵：据此可写出因子模型：还可求出各变量的共同度，各变量对应的特殊
6、因子方差，各公共因子方差贡献率以及两个公共因子的累计方差贡献。变量ai1ai2共同度特殊因子方差X1*X2*X3*X4*X5*X6*0.2720.4090.4770.9260.8480.8430.2930.4390.513-0.1790.0310.1720.160.360.490.890.720.740.840.640.510.110.280.26方差贡献率45.9%10.1%56%44%累计方差贡献率45.9%56%因子变量的特点1、因子变量的数量远少于原有指标变量的数量。2、因子变量是对原始变量的重新组构，能够反映原有众多指标的绝大部分信息。3、因子变量之间没有线
7、性相关关系，对因子变量的分析能够为研究工作提供较大的便利。4、因子变量具有命名解释性。Principalcomponents:主成分法Unweightedleastsquare:不加权最小平方法Generalizedleastsquares:普通最小平方法Maximumlikelihood:最大似然法Principalaxisfactoring:主因子法Alphafactoring:α因子提取法Imagefactoring:映象因子提取法第三节因子分析模型的解一、主因子法主因子法的基本思想是使用多元相关的平方作为对公因子方差的初始估计。初始估计公因子
