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《建模教程各种函数——第十章因子分析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第十章因子分析因子分析是主成分分析的推广和发展，它是通过对协差阵或相关阵的内部依赖关系的研究，将一些具有一定关系的变量或样本归结为较少的几个不可观测的综合因子（又称主因子）的多元分析法。在因子分析中，不仅要确定主因子是什么，更主要的是要分析原变量与主因子的因果关系。因子分析是英国的C.Spearman于1904年首先提出并应用于智力测验得分的统计分析之中，目前它在心理学、社会学、经济学、生物学、地质学、医学等领域都有着广泛的应用。§10.1因子分析模型设兀=（州,・・・,£）为加个原变量兀组成的可观测随机
2、变量，则x的具有k（＜m）个因子的因子分析模型为x=anf+…++勺心=am/]+•••+amkfk+£,n若用矩阵表示，则为兀=A/+£（1）英中/•=（/；，…，齐）'是由X的k个综合因子组成的不可观测随机向量，称为公共因子，其含义要根据具体问题来解释。£=称为特殊因子，也为不可观测的随机向量，其勺只对石•起作用。矩阵A=（a况隊是待估计的系数阵，称为兀在/上的因子载荷矩阵，其元素匂反映了因子/对变量习的彫响大小，称为因子载荷。对上述因子模型（1），一般假设IE（£）=o,Cov（E）=E（E£
3、）=diag儘，…,此蜃①⑵且勺之间及£与/之间均相互独立，则有C"（£j）二£（&/）=0此吋，由于模型的公共因子之间相互正交，故又称为正交因子模型。设兀的协方差矩阵为工=（勺）,冈”，由模型（1）、⑵可得其协方差结构为Cov（x）=Z=AA+①（3）Cov{x./)=A分解式（3）乂称为因子分析的基本公式。因子分析的最基本问题是由子样得到》的估计值》，A用》代替E，利用基本公式（3）,求出因子载荷阵从而预测公共因子/并分析公共因子在实际问题中的解释。上述基本公式（3）又可表为rk^ij=工,0丰j,i
4、,j=1,…,加）/=16=工4：+0；=h-+©2,（i=l,…，加）/=!其中h；直必/=1为全部公共因子对石的总方差所作出的贡献，称为兀的公共（因子）方差或共同度；而©2为①的对角元素，称为乞的特殊（因子）方差。显然，若斤大，研必小。当叶=6时，兀由公共因子的线性组合表示；当/彳=0时，表明公共因子对兀•彫响很小，兀•主要由特殊因子©来描述。可见叶反映了变量兀对公共因子f的依赖程序。另一方面，若记A=（d],・・・,oQ,显然A的第./列£•反映了因子办对x的影响，故勺•的元素平方和22・幻=LaU
5、=aJaJ/=1称为因子兴对X的方差贡献，可用来衡量因子力的相对重要性。显然g；越大，表明.九对兀的贡献越大。故在求得载荷阵A后，即可依q；的大小顺序，提炼出最有影响的公共因子。§7.2因子模型的参数估计法给定原变量％=（禹，…,兀”y的一组观测值元）仝（％）〃洌现需由此建立含较少因子/的模型（1），使其近似满足协方差结构（2）。为此我们以样本协方差矩阵(4)1”(其中无=丄Yx(/)ni=作为工的估计，代入(2)式，用来估计公共因子个数比、因子载荷阵A=(aij)mxm和特殊方差0；(j=l,…,血)
6、，从而得到因子模型的解。下面我们介绍三种常用的因子模型估计法：主成分法、主因子法和极大似然法。1.主成分法设&>^2>--->4为2=9訂的特征值，绚，…％为相应的单位正交化特征向量，则有谱分解式=A4'■该分解表示在因子模型(1)中，k=m,因子载荷阵a=(4入如，…,込》而特殊方差(p；=0(/=l,...,m),这即上式虽精确，但无实用价值。因为因子分析的目的在于寻找较少的公共因子来解释协方差结构的因子模型。为此，我们选取适当的k{7、以证明，该近似式的误差平方和EE△(工-AA-①『(E-A4-0)5心+…+无，显然，当k选得适当时，该误差平方和即可很小。而k的选取准则主要有以下几种:(1)根据问题的实际意义或专业理论知识；(2)选取最小的£使得Aj>0.8(或().70)；选取满足&>1(1=上工勺)的特征值个数。当工未知时，用其子样协差阵S(见⑷)作为E的估计值，将S的特征值A,>-->4及相应特征向量必,…，必“代替上述工的特征值、特征向量，即可得相应于因子模型的主成分解：因子载荷阵A=(屁兔，…,页心)$©•)wx,:k特殊方
8、差0；=»-工船，i-1,…，加；;=i共同度hf=a益，z=!,•••,772o在实际应用中，为避免量纲的影响，即避免有较大方差的变量对因子载荷阵4可能产生的过分影响，我们常对数据进行标准化变换，变换后的子样协差阵为子样相关阵R=(G吹,5=sJsaSjj,=从/?出发可类似地得到/?的因子分析主成分解，此时，其公共因子的个数鸟可由fa/mn0.81=1/或anl的特征值个数来确定。1.主因子法因子模型的主因法是上述主成分
