资源描述:
《高中一年级数学必修4第一课时课件.ppt》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、平面向量数量积的物理背景及其含义数量积的运算律复习:一般地,实数λ与向量a的积是一个向量,记作λa,它的长度和方向规定如下:(1)
2、λa
3、=
4、λ
5、
6、a
7、(2)当λ>0时,λa的方向与a方向相同;当λ<0时,λa的方向与a方向相反;特别地,当λ=0或a=0时,λa=0数乘向量运算律:设a,b为任意向量,λ,μ为任意实数,则有:①λ(μa)=(λμ)a②(λ+μ)a=λa+μa③λ(a+b)=λa+λb已知两个非零向量a和b,作OA=a,OB=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角。OBAθ向量的夹角当θ=0°时,a与b同向;OAB当θ=
8、180°时,a与b反向;OABB当θ=90°时,称a与b垂直,记为a⊥b.OAab物理上力所做的功实际上是将力分解,只有在位移方向上的力做功.θsF思考:如图,一个物体在力F的作用下产生位移s,且力F与位移s的夹角为θ,那么力F所做的功W是多少?W=
9、F
10、
11、s
12、cos其中
13、F
14、cosθ是F在物体位移方向上的分量的数量。功是一个标量,它由力和位移两个向量所确定,数学上,我们把“功”称为向量F与s“数量积”.模仿力做功公式,我们定义向量的数量积的运算.W=
15、F
16、
17、s
18、cos已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量
19、a
20、
21、b
22、cosθ叫做a与b
23、的数量积(或内积),记作a·ba·b=
24、a
25、
26、b
27、cosθ定规定:零向量与任一向量的数量积为0。
28、a
29、cosθ(
30、b
31、cosθ)叫做向量a在b方向上(向量b在a方向上)的投影。注意:向量的数量积是一个数量。表示数量积时中间的“·”绝对不能省略!!a·b不能写成a×b,a×b表示向量的另一种运算向量的数量积是一个数量,那么它什么时候为正,什么时候为负?思考:a·b=
32、a
33、
34、b
35、cosθ当0°≤θ<90°时a·b为正;当90°<θ≤180°时a·b为负。当θ=90°时a·b为零。从定义式可以看出cosθ的符号是关键重要性质:设是非零向量,方向相同的单位向量,的
36、夹角,则特别地OABθabB1a·b=
37、a
38、
39、b
40、cosθ练习:1.若a=0,则对任一向量b,有a·b=0.2.若a≠0,则对任一非零向量b,有a·b≠0.3.若a≠0,a·b=0,则b=04.若a·b=0,则a·b中至少有一个为0.5.若a≠0,a·b=b·c,则a=c6.若a·b=a·c,则b≠c,当且仅当a=0时成立.7.对任意向量a有√×××××√例2.已知
41、a
42、=2,
43、b
44、=3分别在下列条件下求a·b.解:(1)a·b=
45、a
46、
47、b
48、cosθ(1)θ=1350(2)a∥b(3)a⊥b=2×3×cos1350(2)当a与b同向时,a·b=2×3=6当
49、a与b反向时,a·b=-2×3=-6(3)a·b=
50、a
51、
52、b
53、cosθ=2×3×cos900=0例3.已知在△ABC中,BC=5,CA=8,∠C=600,求BC.CA∵∠C=600∴向量BC与CA所成的角为1200=5×8x(-1/2)=-20BC.CA=BCCAcos1200解:ABC练习a·b的几何意义:OABθ
54、b
55、cosθabB1等于的长度与的乘积。θO投影OθO二、平面向量的数量积的运算律:数量积的运算律:其中,是任意三个向量,注:则(a+b)·c=ON
56、c
57、=(OM+MN)
58、c
59、=OM
60、c
61、+MN
62、c
63、=a·c+b·c.ONMa+bbac向量a
64、、b、a+b在c上的射影的数量分别是OM、MN、ON,证明运算律(3)例3:求证:(1)(a+b)2=a2+2a·b+b2;(2)(a+b)·(a-b)=a2-b2.证明:(1)(a+b)2=(a+b)·(a+b)=(a+b)·a+(a+b)·b=a·a+b·a+a·b+b·b=a2+2a·b+b2.例3:求证:(1)(a+b)2=a2+2a·b+b2;(2)(a+b)·(a-b)=a2-b2.证明(2)(a+b)·(a-b)=(a+b)·a-(a+b)·b=a·a+b·a-a·b-b·b=a2-b2.P105例3例5已知︱a︱=3,︱b︱=4,且a与b不
65、共线.求当k为何值时,向量a+kb与a-kb互相垂直?小结:1.2.可用来求向量的模3.投影作业:3、已知a、b都是非零向量,且a+3b与7a–5b垂直,a–4b与7a–2b垂直,求a与b的夹角。解:∵(a+3b)⊥(7a–5b)(a–4b)⊥(7a–2b)∴(a+3b)·(7a–5b)=0且(a–4b)·(7a–2b)=0即7a·a+16a·b–15b·b=07a·a-30a·b+8b·b=0两式相减得:2a·b=b2,代入其中任一式中得:a2=b2cosθ=