数字信号处理资源第3章 离散傅里叶变换(DFT).pptx

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1、第3章　离散傅里叶变换(DFT)3.1　离散傅里叶级数变换(DFS)3.2　离散傅里叶变换的定义和性质3.3　频域取样3.4　离散傅里叶变换的应用3.1　离散傅里叶级数变换(DFS)3.1.1　离散傅里叶级数变换引入3.1.2　离散傅里叶级数的主要性质3.1.1　离散傅里叶级数变换引入为了更好地理解离散傅里叶变换的概念，作为一种过渡，先简要地研究离散傅里叶级数(简称DFS)。3.1.2　离散傅里叶级数的主要性质1.线性特性2.序列移位3.周期卷积特性1.线性特性若有周期皆等于N的两个离散周期序列x1(n)和x2(n)线性组合成

2、一个新的周期序列x3(n)x3(n)=ax1(n)+bx2(n)(3-10)则X3(k)=DFS［ax1(n)+bx2(n)］=aX1(k)+bX2(k)(3-11)式中a,b为任意常数。线性特性可根据DFS的定义证明。由于是线性组合，所以x3(n)的周期长度不变，仍为N。X3(k)也是周期为N的离散周期序列。2.序列移位(1)时域移位。(2)频域移位。(1)时域移位。周期序列x(n)左移m位后，得x(n+m)，则DFS［x(n+m)］=W-kmNx(k)(3-12)(2)频域移位。当将X(k)左移l时，得X(k+l)，则ID

3、FS［X(k+l)］=WnlNx(n)3.周期卷积特性(1)时域卷积。(2)频域卷积。(1)时域卷积。图3-1　周期卷积(2)频域卷积。对于周期序列的乘积，存在着频域的周期卷积。若x3(n)=x1(n)x2(n)则X3(k)=DFS［x3(n)］=1N∑N-1l=0X1(l)X2(k-l3.2　离散傅里叶变换的定义和性质3.2.1　离散傅里叶变换的定义3.2.2　离散傅里叶变换的性质3.2.1　离散傅里叶变换的定义图3-2　有限长序列及其周期延拓3.2.2　离散傅里叶变换的性质1.线性特性2.离散傅里叶逆变换的另一公式3.对称

4、定理4.反转定理5.序列的总和6.序列的始值7.延长序列的离散傅里叶变换8.序列的圆周移位1.线性特性若两个有限长序列x1(n)和x2(n)的线性组合为x3(n)=ax1(n)+bx2(n)2.离散傅里叶逆变换的另一公式离散傅里叶逆变换形式与正变换不同之处在于WN因子用负指数，且有一比例系数1／N。离散傅里叶逆变换还有另一种形式，即x(n)=1N［∑N-1k=0X*(k)WknN］*0≤n≤N-1(3-27)1N［∑N-1k=0X*(k)WknN］*=1N∑N-1k=0X(k)W-knN=x(n)(3-28)3.对称定理若x(

5、n)的离散傅里叶变换为X(k)，则当时间序列具有频谱序列的形状X(n)时，其对应的离散傅里叶变换对如下：1Nx(n)⇔X(-k)X(-k)=X(N-k)式(3-29)说明X(n)的对应频谱序列具有原来的时间序列x(n)在时间上倒置的形状。4.反转定理若x(n)的离散傅里叶变换为X(k)，则x(-n)的离散傅里叶变换为X(-k)。这可直接由离散傅里叶变换的定义得到证明。5.序列的总和列长为N的时间序列x(n)中各取样值的总和等于其离散傅里叶变换X(k)在k=0时的值，即X(k)k=0=∑N-1n=0x(n)WknNk=0=∑N-

6、1n=0x(n)6.序列的始值若序列的离散傅里叶变换为X(k)，则对应的时间序列x(n)的始值x(0)为频谱序列各取样值X(k)的总和除以N，即x(0)=1N∑N-1k=0X(k)7.延长序列的离散傅里叶变换把序列x(n)，0≤n≤N-1,填充零值，人为地加长到rN，得到g(n)0≤n≤rN-1式中，r为正整数，而g(n)=x(n)0≤n≤N-10N≤n≤rN-1g(n)的离散傅里叶变换为G(k)=DFT［g(n)］=∑rN-1n=0g(n)e-j2πnkrN=∑N-1n=0x(n)e-j2πnkrN=Xkrk=0,1,…,r

7、N-18.序列的圆周移位(1)圆周移位。(2)有限长序列圆周移位定理。8.序列的圆周移位图3-3　圆周移位过程图(1)圆周移位。一列长为N的有限长序列x(n)，在0≤n≤N-1区间内取非零值，如图3-3a所示。如令其沿坐标n右移m后仍在0≤n≤N-1区间内取值，如图3-3b所示，则将发生信息损失。为避免这种情况，可将x(n)以N为周期做周期延拓得x(n)=x((n))N再把x(n)偏移m得x(n+m)=x((n+m))N(2)有限长序列圆周移位定理。图3-4　序列圆周移位a)N等分的圆周　b)将序列排列在N等分的圆周上　c)将

8、圆周旋转得序列x(n)的圆周移位3.3　频域取样3.3.1　对X(z)取样时取样点数的限制3.3.2　X(z)的内插公式3.3.1　对X(z)取样时取样点数的限制对任一绝对可和的非周期序列x(n)的z变换X(z)在单位圆上(即对X(ejω))进行等距取样得X(k)=X(z)z