离散傅里叶变换DFT

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1、第三章DFT离散傅里叶变换§3-7抽样Z变换--频域抽样理论§3-8利用DFT对连续时间信号的逼近§3-6DFT的性质§3-5DFT--有限长序列的离散频域表示§3-3周期序列的DFS§3-4DFS的性质§3-2傅氏变换的几种可能形式§3-1引言点击进入目§3.1引言在第2章中讨论了序列的傅里叶变换和Z变换。由于数字计算机只能计算有限长离散序列，因此有限长序列在数字信号处理中就显得很重要，当然可以用Z变换和傅里叶变换来研究它，但是，这两种变换无法直接利用计算机进行数值计算。针对序列“有限长”这一特点，可以

2、导出一种更有用的变换：离散傅里叶变换（DiscreteFourierTransform，简写为DFT）。它本身也是有限长序列。作为有限长序列的一种傅里叶表示法，离散傅里叶变换除了在理论上相当重要之外，而且由于存在有效的快速算法——快速离散傅里叶变换，因而在各种数字信号处理的算法中起着核心作用。有限长序列的离散傅里叶变换（DFT）和周期序列的离散傅里叶级数（DFS）本质上是一样的。为了讨论离散傅里叶级数与离散傅里叶变换，我们首先来回顾并讨论傅里叶变换的几种可能形式。一.DFT是重要的变换1.分析有限长序列

3、的有用工具。2.在信号处理的理论上有重要意义。3.在运算方法上起核心作用，谱分析、卷积、相关都可以通DFT在计算机上实现。返回目录二.DFT是现代信号处理桥梁DFT要解决两个问题：一是离散与量化，二是快速运算。信号处理DFT(FFT)傅氏变换离散量化连续时间、连续频率—傅里叶变换连续时间、离散频率—傅里叶级数离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换离散时间、离散频率—离散傅里叶变换§3-2傅里叶变换的几种可能形式时域频域傅里叶变换一、连续时间，连续频率——傅里叶变换(FT)这是连续时间，非周期信号x(t)的傅

4、里叶变换。它得到连续的、非周期的频谱密度函数X(j)。时域连续频域非周期时域非周期频域连续二、连续时间，离散频率——傅里叶级数(FS)这是连续时间，周期信号x(t)的傅立叶变换。它得到离散的、非周期的频谱密度函数X(j)。例如信号x(t)=sin100t只有一个频率分量。X(jK0)是频谱相邻两谱线间角频率的间隔，K为谐波序号。时域周期频域离散三、离散时间，连续频率——序列的傅里叶变换(DTFT)由第一章采样定理的知识，我们知道：时域离散，将导致频域周期化，且这个周期是s。时域离散频域周期四、离

5、散时间，离散频率——离散傅里叶变换(DFT)上面所讲的三种傅里叶变换至少在一个域内是连续的，不适于计算机运算。最好是时域和频域均为离散的，才方便用计算机运算。思路：从序列的傅里叶变换出发，若时域为离散的序列，则频域是连续周期的；若此时我们对频域的连续信号抽样，人为的使其离散化，这样，频域的离散又导致时域的周期化。于是有：时域离散、周期频域周期、离散四种傅里叶变换形式的归纳时间函数频率函数连续和非周期非周期和连续连续和周期非周期和离散离散和非周期周期和连续散和周期周期和离散各种形式的傅里叶变换§3.3

6、周期序列的离散傅里叶级数(DFS)设是一个周期为N的周期序列，即r为任意整数周期序列不是绝对可和的，所以不能用Z变换表示，因为在任何z值下，其Z变换都不收敛，也就是但是，正如连续时间周期信号可以用傅里叶级数表示一样，周期序列也可以用离散傅里叶级数来表示，该级数相当于成谐波关系的复指数序列（正弦型序列）之和。也就是说，复指数序列的频率是周期序列的基频（2π/N）的整数倍。这些复指数序列ek(n)的形式为（3-1）式中,k,r为整数。由式（3-1）可见，复指数序列ek(n)对k呈现周期性，周期也为N。也就是说

7、,离散傅里叶级数的谐波成分只有N个独立量，这是和连续傅里叶级数的不同之处（后者有无穷多个谐波成分），因而对离散傅里叶级数，只能取k=0到N-1的N个独立谐波分量，不然就会产生二义性。因而可展成如下的离散傅里叶级数，即（3-2）式中，求和号前所乘的系数1/N是习惯上已经采用的常数，是k次谐波的系数。下面我们来求解系数，这要利用复正弦序列的正交特性，即r=mN,m为整数其他r（3-3）将式（3-2）两端同乘以，然后从n=0到N-1的一个周期内求和，则得到把r换成k可得（3-4）这就是求k=0到N-1的N个谐

8、波系数的公式。同时看出也是一个以N为周期的周期序列，即这和离散傅里叶级数只有N个不同的系数的说法是一致的。可以看出，时域周期序列的离散傅里叶级数在频域（即其系数也是一个周期序列。因而与是频域与时域的一个周期序列对，式（3-2）与式（3-4）一起可看作是一对相互表达周期序列的离散傅里叶级数（DFS）对。为了表示方便，常常利用复数量WN来写这两个式子。WN定义为（3-5）WN的性质1.周期性2.共轭对称性3.可约性4.正交性使