5-1 定积分的概念.ppt

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1、本学期学习内容教材上册:第五章定积分第六章定积分的应用教材下册:第八章多元函数微分法及其应用第九章重积分第十二章微分方程第十一章无穷级数1第五章定积分第一节定积分的概念与性质2abxyo实例1（求曲边梯形的面积）一、问题的提出两个问题要解决:一个是给出面积的定义，一个是找出计算面积的方法。矩形面积梯形面积3abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）4观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．5观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．6

2、观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．7观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．8观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．9观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．10观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．11曲边梯形如图所示，具体解决步骤:分割近似12曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为求和取极限13实例2（求变速直线运动的路程）思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，

3、最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．14（1）分割部分路程值某时刻的速度（3）求和（4）取极限路程的精确值(2)近似15曲边梯形面积变速直线运动的路程以上两个和式的极限形式完全相同,如何用数学的方法统一的加以解决?1.对这类问题进行数学抽象,建立严格的理论基础;2.找到求这一类极限值的有效方法.16二、定积分的定义定义17被积函数被积表达式积分变量记为积分上限积分下限积分和18注意：1920定理1定理2三、存在定理（充分条件）21曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值四、定积分的几何意义22几何意义：23例1面积值为圆的面积的x1y24例2利用定义计算定积分解25

4、26例3.用定积分表示下列极限:解:27思考题将和式极限：表示成定积分.原式28对定积分的补充规定:说明在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．定积分的性质29证（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质130证性质231补充：不论的相对位置如何,上式总成立.例若（定积分对于积分区间具有可加性）则性质332证性质4性质533性质5的推论：证（1）34证性质5的推论：（2）35性质5(定积分的保号性)命题证36解令于是37例2柯西-施瓦茨不等式闵可夫斯基不等式38证被积函数非负39证即证柯西-施瓦茨不等式40证（此性质可用于估计积分值的大致范围）性

5、质641解42解4344证由闭区间上连续函数的介值定理知性质7（定积分中值定理）积分中值公式45使即积分中值公式的几何解释：46解由积分中值定理知有使47内容小结1.定积分的定义—乘积和式的极限2.定积分的性质3.积分中值定理连续函数在区间上的平均值公式48