5-1定积分的概念

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1、第五章定积分及其应用定积分在口然科学和技术问题中有着广泛的应用.本章将从实际问题出发，引出定积分的概念，然后讨论定积分的性质、计算方法和它在几何、物理及经济方面的应用，最后还将介绍广义积分的有关知识.§1定积分的概念一、两个实例1、曲边梯形的面积在直角坐标系中，由闭区间［a,b］±的连续曲线y=/(%)(/(%)>0),直线x=x=b及x轴所闌成的平而图形称为曲边梯形.首先分析计算曲边梯形而积的方法.由于曲边梯形的高/(兀)在闭区间［⑦列上是变化的,所以不能利用求直边图形而积的方法来求•为了计算曲边梯形的而积，可以先将

2、曲边梯形分割成若干个小曲边梯形•每个小曲边梯形的而积用一个与它同底，高为底上某点的函数值的小矩形的面积來近似代替•这样，所冇这些小矩形面积Z和近似代替曲边梯形的面积.•如果分割的越细,近似的程度就越好，当无限细分时，所有-小矩形面积之和的极限定义为曲边梯形的面积.111!边梯形的面积A具体求法如下：(1)分割.在区间［。,列内任意选取斤-1个分点:a=xQ

3、］•这些小区间的长度分别为Ax,二兀-G,i=1,2,“.过每一分点作兀轴的垂线，把曲边梯形分成了"个小曲边梯形，其中第i个小曲边梯形的面积记为A4(i=l,2,・・・/)・(2)近似.在每个小区间［九,兀］上任取一点纟(心1,2,・・*),以纸为底，/•&)为髙作小矩形,用小矩形而积/(&)口近似代替相应的小曲边梯形的面积AA,,即MQ/(切丄(i=h2,•■•,/?)(3)求和.把斤个小矩形面积相加得和式,是曲边梯形面积的近似值A=XAAi空/(纟)3Z=1i=i(1)取极限.当分点个数〃无限增大,且小区间长度的最

4、大值

5、

6、丄

7、卜1》驚｛丄｝趋向于零时,上述和式的极限就是曲边梯形的面积，即A二lim・曲边梯形的面积是一个和式的极限.2、变速直线运动的路程设一•物体沿直线运动，已知速度v=v(r)是时间区间［a.b］上的f的连续函数，且v(r)>0,求这物体在这段时间内所经过的路程-速度是变速的.因为在很短的一段时间里的速度的变化很小，近似于匀速所以可以用匀速直线运动的路程作为这段吋间里的路程的近似值.⑴分割.在区间［a.b］内任意选取n-1个分点：6/=/()<^

8、分割成ai个小区间:［心站］，［『"］，…，［心，叮，…，［如，叮.这些小区间的长度分别为m-g,心1,2,…曲.物体在第，个小区间［心,订内所走的路程为(z=1,2,•••,/?).(2)近似.在每个小区间［心易］上，用其中任一时刻《(心1,2,…,町的速度”6)来近似代替变化的速度叩)，从而得到As.的近似值，即As.«唯•)虫(心1,2,…,町n(3)求和.把〃段时间上的路程相加，得和式》>(切0,是区间［a.b］±的路程s的近似/=1值(4)収极限.当分点个数斤无限增大，且小区间长度的最大值

9、

10、a_

11、

12、=max

13、

14、积f（岳）©的和式工/（幼X1=1如果不论对区间［d,b］采取何种分法及纟如何选取，当最大的小区间的长度趋于零，即

15、

16、’

17、

18、tO时，和式的极限存在，贝眦极限值叫做西数y=/（%）在区间S，列上的定积分，记做］/（兀）必，即"（也］肌£/（即0其中，a与b分别叫做积分的下限与上限.区间［a.b］nq做积分区间.如果定积分］7（兀肚存在，则称/（兀）在区间［⑦可上可积.曲边梯形的面积A等于曲边y=f（x）在其底所在的区间［⑦列上的定积分A=£/（兀宓.变速直线运动的物休所经过的路程S等于其速度V=v（r）在时间区间［a,b

19、］上的定积分s=^v（t）dt.注意：（1）当和式的极限存在吋，其极限值仅与被积函数/（兀）及积分区间［⑦可f=l有关，而与区间s，列的分法及岳的取法无关.如果不改变被积函数和积分区间而改变积分变虽兀用其他的字母，极限值不变，即定积分的值不变ff(x^=fwe•⑵ff(xM=-J；/(x宓［f(x)dx=Q.三、定积分的几何意义当