数学北师大版八年级下册角平分线性质定理和判定定理.ppt

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1、市直一初中韩宝红第一章三角形的证明第4节角平分线（1）学习目标：1.掌握角平分线的性质定理和判定定理2.能进行相关的计算与证明。知识回顾1.判定两个直角三角形全等的方法有哪些？2.如何做出一个角的角平分线？3.角平分线上的点有什么特点？角平分线上的点有哪些特点?角平分线上的点到角两边的距离相等你是怎样得到的?放开手脚做一做已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．求证：PD=PE．证明：∵OC是∠AOB的平分线∴∠1=∠2，∵PD⊥OA，PE⊥OB∠PDO=∠PE

2、O=90°在△PDO和△PEO中∠1=∠2，∠PDO=∠PEO=90°，OP=OP，∴△PDO≌△PEO(AAS)．∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)角平分线的性质定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等用符号语言表示为：AOBPED12∵∠1=∠2PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE.(角平分线上的点到这个角两边的距离相等）角平分线的性质定理有两个条件：1.点在；2.过点作。这两个条件缺一不可。注意练习1.如图，AO是∠BAC的平分线，OM⊥AC于M，ON⊥ＡＢ于Ｎ，若ＯＮ＝８ｃｍ，求ＯＭ的长２．△ＡＢＣ中

3、，∠Ｃ＝９０°，BC=AC,AB=10cm,ＢＤ平分∠ＡＢＣ，ＤＥ⊥AB于E，求△ADE周长你能写出角平分线的性质定理的逆命题吗？在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。这是一个真命题吗？你能证明吗？已知：在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足且PD=PE，求证：点P在∠AOB的角平分线上．21EDCPOBA证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°．在Rt△ODP和Rt△OEP中OP=OP，PD=PE∴Rt△ODP≌Rt△OEP(HL)．∴∠1=∠

4、2(全等三角形对应角相等)．到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。角平分线的判定AOBPDEC定理：用符号语言表示为：∵PD=PEPD⊥OA，PE⊥OB∴∠1=∠2.由上面两个定理可知：到角的两边的距离相等的点，都在这个角平分线上；反过来，角平分线上的点到角的两边的距离相等。角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合.练一练填空：(1).∵∠1=∠2,DC⊥AC,DE⊥AB∴___________(___________________________________________)(1).∵DC⊥

5、AC,DE⊥AB,DC=DE∴__________(_______________________________________________)ACDEB12∠1=∠2DC=DE到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。在角平分线上的点到角的两边的距离相等1.如图所示，BD=CD,CE⊥AB,BF⊥AC.求证:点D在∠BAC的平分线上。课堂小结1.角平分线的性质定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等2.角平分线的判定定理:到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。3.性质定理和逆定理的关系点在

6、角平分线上点到角两边的距离相等4.角平分线的性质定理是证明角相等、线段相等的新途径.角平分线的逆定理是证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.课堂小测试：1.△ABC中，∠BAC=60，D在BC上，DE⊥ＡＢ于Ｅ，ＤＦ⊥ＡＣ于Ｆ，且ＤＥ＝ＤＦ，ＤＥ=3cm，求AD长2.已知：△ABC中，AB=AC，O是底边BC的中点，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证：OD=OE这节课你学到了什么小结：布置作业如图,在△ABC中,已知AC=BC,∠C=900,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.(1)如果CD

7、＝4cm，AC的长(2)求证:AB＝AC＋CD.EDABC重难互动探究探究问题一　角平分线的性质定理的应用1如图1－4－4，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，F是OC上除点P，O外一点，连接DF，EF，则DF与EF的关系如何？证明你的结论．图1－4－4探究问题二　角平分线的判定定理的应用2如图1－4－5，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，若BD＝CD，求证：AD平分∠BAC.图1－4－5[解析]要证AD平分∠BAC，只需证DF＝DE.可通

8、过证△BDF≌△CDE(AAS)来实现，从而可证得AD平分∠BAC.