《圆的对称性》课件2.ppt

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1、圆的对称性如图，AB是⊙O的一条弦，作直径，CD⊥AB，垂足为M.（1）右图是轴对称图形吗？若是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些等量关系吗？说一说你的理由.右图是轴对称图形，对称轴是CD.AM＝BM导入新课垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.几何语言叙述定理：∵CD为⊙O的直径，且CD⊥AB，∴AM＝BM，＝，＝.知识点一：垂径定理举例如图所示，弦AB=8cm，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，DE=2cm，求⊙O的直径CD的长.例1解连接OA.设OA=rcm，则OE=r-2(cm).∵CD⊥AB，由垂

2、径定理得=4(cm).在Rt△AEO中，由勾股定理得解得r=5.∴CD=2r=10(cm).即平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.几何语言叙述定理：知识点二：垂径定理的逆定理∵AM＝BM，CD为⊙O的直径，∴CD⊥AB，＝，＝.求证：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.已知，如图，AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的一条直径，CD交AB于点M，且AM=BM，求证：CD⊥AB，＝，＝.∵AM＝BM，∴CD⊥AB，∠AOC＝∠BOC，∴＝，∵∠AOD＝180°－∠AOC，∠BOD＝180°－∠BOC，

3、∴∠AOD＝∠BOD∴＝.证明：连接OA，OB，则OA＝OB，你可以写出相应的命题吗?已知其中两个条件,就可推出其余三个结论？如图，在同圆中，如果具备下列条件：（1）CD是直径；（2）CD⊥AB；（3）AM＝BM；（4）＝；（5）＝，举例证明：圆的两条平行弦所夹的弧相等.已知：如图，在⊙O中，弦AB与弦CD平行.求证：=例2证明作直径EF⊥AB，∴又AB∥CD，EF⊥AB，∴EF⊥CD.∴因此即1400年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥（如图）是圆弧形，它的跨度（即弧所对的弦长）为37.4m，拱高（即弧的中点到弦的距离）为7.2m，

4、求桥拱所在圆的半径（结果精确到0.1m）.例3图21-22解：如图21-22.设拱桥的圆心为O，半径为Rm，连接OA，OB，过点O作OC⊥AB，D为垂足，与相交于点C.∴AD=BD，=.∵AD=37.4，DC=7.2，∴AD＝AB＝×37.4＝18.7，OD＝OC－DC＝R－7.2.在Rt△OAD中，由勾股定理，得：OA2＝AD2＋OD2.答：桥拱所在圆的半径约为27.9m.解这个方程，得R≈27.9(m).即R2＝18.72＋(R－7.2)2.如图，⊙O的半径为5cm，弦AB为6cm.求圆心O到弦AB的距离.本例为垂径定理的应

5、用。利用圆中常规辅助线“过圆心作弦的垂线”，与圆半径、弦，构成直角三角形，再利用解直角三角形的知识求解.随堂检测点拨：解：连接OA，过圆心O作OE⊥AB于E，则：AE＝EB＝AB＝×6＝3（cm）∵OA＝5cm，∴在Rt△OEA中，有：OE＝＝＝4（cm），因而，圆心O到弦AB的距离为4cm.如图，⊙O的半径为5cm，弦AB为6cm.求圆心O到弦AB的距离.做一做1.已知，⊙O的半径为2cm，弦AB为2cm，求弦AB中点到它所对劣弧中点的距离.解：连接OA，过点O作OC⊥AB于点C，延长OC交圆周于点D.则:AC＝AB＝×2＝（

6、cm）在Rt△AOC中，有：OA＝2cm，AC＝cm由勾股定理，得：OC2＋AC2＝OA2，∴OC＝＝＝1（cm），∴CD＝OD－OC＝OA－OC＝2－1＝1（cm）.即弦AB中点到它所对劣弧中点距离为1cm.2.已知：AB是⊙O的直径，AC、AD是在AB两侧的两条弦，且AC＝AD.求证：AB平分∠CAD.解：过点O作OE⊥AC于EOF⊥AD于F.由垂径定理，可得：AE＝AC，AF＝AD∵AC＝AD，∴AE＝AF，在Rt△AOE和Rt△AOF中：OA＝OA，AE＝AF，∴Rt△AOE≌Rt△AOF，∴∠OAE＝∠OAF，即AB平

7、分∠CAD.思考：圆是中心对称图形吗？如果是，它的对称中心是什么？你能找到对称中心吗？你又是用什么方法解决这个问题的呢？·圆是中心对称图形；圆心是它的对称中心；用旋转的方法解决这个问题.圆的中心对称性一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，还能与原来的图形重合吗？结论1：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，我们把圆的这个特性称之为圆的旋转不变性.结论2：圆是中心对称图形，对称中心为圆心.圆心角、弧、弦之间的关系在等圆⊙O和⊙O′中，分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′OB′(如图3－8)，将两圆重叠，并固定圆心，

8、然后把其中的一个圆旋转一个角度，得OA与OA′重合.你能发现哪些等量关系？说一说你的理由？例4已知：A，B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，C是的中点.试判断四边形AOBC的形状，并说明理由.解：四边形AOBC为菱形.例题讲解∴四边形AOBC为菱形.理由如下：