（江苏专用）2020高考数学二轮复习 课时达标训练（二十四） 运用空间向量求角.doc

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1、课时达标训练(二十四)运用空间向量求角A组——大题保分练1．(2019·南通等七市二模)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，AB＝1，AP＝AD＝2.(1)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；(2)若点M，N分别在AB，PC上，且MN⊥平面PCD，试确定点M，N的位置．解：(1)由题意知，AB，AD，AP两两垂直，以{，，}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)．从而＝(1，0，－2)，＝(1，2，－2)，＝(0，2，－2)．设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)，则

2、即不妨取y＝1，则x＝0，z＝1.所以平面PCD的一个法向量为n＝(0，1，1)．设直线PB与平面PCD所成角为θ，则sinθ＝

3、cos〈，n〉

4、＝＝，即直线PB与平面PCD所成角的正弦值为.(2)设M(a，0，0)，则＝(－a，0，0)，设＝λ，则＝(λ，2λ，－2λ)，而＝(0，0，2)，所以＝＋＋＝(λ－a，2λ，2－2λ)．由(1)知，平面PCD的一个法向量为n＝(0，1，1)，因为MN⊥平面PCD，所以∥n.8所以解得所以M为AB的中点，N为PC的中点．2．(2018·苏北四市期末)在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB＝1，AA1＝2，E，F，G分别是棱AA1，AC和A1

5、C1的中点，以{，，}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz.(1)求异面直线AC与BE所成角的余弦值；(2)求二面角FBC1C的余弦值．解：(1)因为AB＝1，AA1＝2，则F(0，0，0)，A，C，B，E，A1，C1，所以＝(－1，0，0)，＝.记异面直线AC和BE所成角为α，则cosα＝

6、cos〈，〉

7、＝＝，所以异面直线AC和BE所成角的余弦值为.(2)设平面BFC1的法向量为m＝(x1，y1，z1)．因为＝，＝，则即取x1＝4，得平面BFC1的一个法向量为m＝(4，0，1)．设平面BCC1的法向量为n＝(x2，y2，z2)．因为＝，＝(0，0，2)，则即8取x2＝，得

8、平面BCC1的一个法向量为n＝(，－1，0)，所以cos〈m，n〉＝＝.根据图形可知二面角FBC1C为锐二面角，所以二面角FBC1C的余弦值为.3．(2019·扬州期末)如图，将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD⊥平面CBD，AE⊥平面ABD.(1)若AE＝，求直线DE与直线BC所成角；(2)若二面角ABED的大小为，求AE的长度．解：由题意知AB⊥AD，又AE⊥平面ABD，∴以A为原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．过点C作CF⊥BD，垂足为F，又平面ABD⊥平面CBD，CF⊂平面CBD，平面ABD∩平面CBD＝BD，∴

9、CF⊥平面ABD.∵CB＝CD＝2，∴F为BD的中点，CF＝.(1)易知E(0，0，)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，C(1，1，)，∴＝(0，－2，)，＝(－1，1，)，∴·＝0，∴⊥，∴直线DE与直线BC所成角为.(2)设AE的长度为a(a＞0)，则E(0，0，a)，易知AD⊥平面ABE，∴平面ABE的一个法向量为n1＝(0，1，0)．由(1)知＝(－2，0，a)，＝(－2，2，0)，设平面BDE的法向量为n2＝(x1，y1，z1)，则n2⊥，n2⊥，∴得取z1＝2，则x1＝y1＝a.8∴平面BDE的一个法向量为n2＝(a，a，2)．∴cos〈n1，n2〉＝＝＝.∵二面角AB

10、ED的大小为，∴＝，得a＝，∴AE的长度为.4.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BA＝BC＝5，AC＝8，D为线段AC的中点．(1)求证：BD⊥A1D；(2)若直线A1D与平面BC1D所成角的正弦值为，求AA1的长．解：(1)证明：∵三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，∴AA1⊥平面ABC，又BD⊂平面ABC，∴BD⊥AA1，∵BA＝BC，D为AC的中点，∴BD⊥AC，又AC∩AA1＝A，AC⊂平面ACC1A1，AA1⊂平面ACC1A1，∴BD⊥平面ACC1A1，又A1D⊂平面ACC1A1，∴BD⊥A1D.(2)由(1)知BD⊥AC，AA1⊥平面ABC，以D为坐标原点，DB，DC

11、所在直线分别为x轴，y轴，过点D且平行于AA1的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设AA1＝λ(λ＞0)，则A1(0，－4，λ)，B(3，0，0)，C1(0，4，λ)，D(0，0，0)，∴1＝(0，－4，λ)，1＝(0，4，λ)，＝(3，0，0)，设平面BC1D的法向量为n＝(x，y，z)，则即则x＝0，令z＝4，可得y＝－λ，故n＝(0，－λ，4)为平面BC1D的一个法向量．设直线A1D与平面BC1D所成角为θ，则sinθ＝

12、c