数学人教版八年级上册造桥选址问题 最短路径.4-造桥选址问题-最短路径（2）课件.ppt

《数学人教版八年级上册造桥选址问题 最短路径.4-造桥选址问题-最短路径（2）课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、13.4课题学习----最短路径问题（2）博闻强记，多思多问，取乎法上，持之以恒。————茅以升问题2（造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。）ABMNab思维分析BA1、如图假定任选位置造桥ＭＮ，连接ＡＭ和ＢＮ，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？ＭＮ2、利用“两点间，线段最短”解决问题我们遇到了什么障碍呢？我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？思维

2、火花各抒己见1、把A平移到岸边.2、把B平移到岸边.3、把桥平移到和A相连.4、把桥平移到和B相连.上述方法都能做到使AM+MN+BN不变吗？请检验.合作与交流1、2两种方法改变了.怎样调整呢？把A或B分别向下或上平移一个桥长那么怎样确定桥的位置呢?问题解决BAA1MN如图，平移A到A1，使AA1等于河宽，连接A1B交河岸于Ｎ作桥ＭＮ，此时路径ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短.理由；另任作桥Ｍ１Ｎ１，连接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.Ｎ１Ｍ１由平移性质可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１.AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而Ａ

3、Ｍ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由三角形三边关系知A1N1+BN1＞A1B因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞AM+MN+BN作法：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，2.连接AE交河对岸与点M,则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。证明：由平移的性质，得BN∥EM且BN=EM,MN=CD,BD∥CE,BD=CE,所以A.B两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若桥的位置建在CD处，连接AC.CD.DB.CE,则AB两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+

4、MN,在△ACE中，∵AC+CE＞AE,∴AC+CE+MN＞AE+MN,即AC+CD+DB＞AM+MN+BN所以桥的位置建在CD处，AB两地的路程最短。A·BMNECD问题延伸一如图，A和B两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥MN和PQ.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）思维分析如图，问题中所走总路径是AM+MN+NP+PQ+ＱＢ．桥MN和PQ在中间，且方向不能改变，仍无法直接利用“两点之间，线段最短”解决问题，只有利用平移变换转移到两侧或同一侧先走桥长.平移的方法有三种：两个桥长都

5、平移到A点处、都平移到B点处、MN平移到A点处，PQ平移到B点处思维方法一1、沿垂直于第一条河岸的方向平移A点至AA1使AA1=MN，此时问题转化为问题基本题型两点（A1、B点）和一条河建桥（PQ）2、利用基本问题的解决方法确定桥PQ：（1）在沿垂直于第二条河岸的方向平移A1至A2，使A1A2=PQ.（2）连接A2B交A2的对岸Q点，在点处建桥PQ.3、确定PQ的位置，也确定了BQ和PQ，此时问题可转化为由A点、P点和第一条河确定桥MN的位置.连接A1P交A1的对岸于Ｎ点，在Ｎ点处建桥ＭＮ．问题解决沿垂直于河岸方向依次把Ａ点A1、A2，使

6、ＡA1＝ＭＮ，A1A2＝ＰＱ；连接A2Ｂ交于Ｂ点相邻河岸于Ｑ点，建桥ＰＱ；连接A1Ｐ交A1的对岸于Ｎ点，建桥ＭＮ；从Ａ点到Ｂ点的最短路径为ＡM＋MN＋ＮＰ＋ＰＱ＋ＱＢ．思维方法二沿垂直于第一条河岸方向平移Ａ点至A1点，沿垂直于第二条河岸方向平移Ｂ点至B1点，连接A1B1分别交A、B的对岸于N、P两点，建桥MN和PQ.最短路径AM+MN+NP+PQ+QB转化为AA1+A1B1+BB1.思维方法三沿垂直于河岸方向依次把B点平移至B１、B２，使BB１＝PQ，B１B２＝MN；连接B２A交于A点相邻河岸于M点，建桥MN；连接B１N交B１的对岸于P点

7、，建桥PQ；从Ａ点到Ｂ点的最短路径为ＡM＋MN＋NP＋ＭＮ＋ＮＰ＋ＰＱ＋ＱＢ转化为AB２+B２B１+B１B．你会了吗？