一球面上的距离.ppt

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1、球面上的距离宣城二中韩月红一、球面上的距离我们知道，在平面上，经过两点可以连一条直线，且只可连一条直线．平面上两点之间的所有连线中，线段最短，这条线段的长度叫做两点之间的距离．球面上有没有某种曲线可以“扮演”平面上直线的角色呢？连结球面上任意两点有无数条曲线，而且它们的长短不一，其中是否存在一条最短的曲线？探究CDBOAB、A两点的距离是多少？如下图，一架飞机从北京首都国际机场起飞，目的地是美国纽约肯尼迪国际机场，北京与纽约大致都在北纬40上，如果不考虑其他因素，飞机如何飞行才能使航程最短？NBO

2、北京S旧金山O´T北南如图，我们用点B代表北京、点N代表纽约，点O表示球心．用经过B点、N点、O点的平面去截球面，得到一个大圆（由于平面过球心），那么B点、N点就把这个大圆分成两段圆弧，长的一段叫优弧，短的一段叫劣弧．如果我们把图中的大圆弧和小圆弧画到同一个平面，如下图．TSBNOO´r´r劣弧的长度是球面上两点之间的最短路径，我们把它称为球面上两点之间的距离．因此过球面上两点一定可以连一条且只可以连一条大圆弧——劣弧．再回到上图，很容易得到，飞机沿着大圆从北京向北经极地飞行到达纽约，航程最短，它

3、比飞机向东沿北纬40°的小圆，经旧金山到达纽约的航程要短．例1假设地球的半径为R，如图，在北纬45°的纬线上有A，B两点，且所对的圆心角∠AO´B=90°，求球面上A，B两点间的距离．ABOO´解：如图，连结OA，OB，AB，OO´.由纬度的意义，可得同理，因为∠AO´B=90．所以又因为OA=OB=R，所以∠AOB=60，因此，球面上A，B两点间的距离等于由于不在同一条直线上的三点唯一确定一个圆，因此过球面上两点必可连一条大圆弧—劣弧．这类似平面上经过两点可以连一条直线，且只可能连一条直线；平面

4、上两点之间的最短路径是线段．因此，球面上的大圆可以“扮演”平面上直线的角色．尽管球面上的大圆可以“扮演”平面上直线的角色，但是两者之间也有很大的不同．平面上的两条直线可以相交：只有一个交点；也可以不相交（平行）：没有交点．但是球面上任意两个大圆（类似平面上的两条直线）必定相交，且有两个交点．思考为什么两个大圆必定相交，且有两个交点？AA´O如上图，因为球面上的两个大圆所在的平面都经过球心O．所以这两个大圆所在的平面有一个公共点，因此这两个平面必有一条过球心O的相交直线，这条相交直线显然是球面的直径

5、所在的直线，两个大圆的交点是这条直径的两个端点A，A´．我们把球的直径的两个端点A，A´称为对径点．因此，两个大圆相交于对径点A，A´．本讲小结1.由在平面上的距离引出球面上的距离的定义．2.如何计算球面上两点间的距离.课后作业人教版高中选修3-3第二讲课后思考第1题（P11）