空间平行直线.doc

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1、§1.2.2空间两条直线的位置关系（一）¤预习目标：1．了解两条直线的三种位置关系；2．了解等角定理；3．通过与平面几何知识的类比，直观感知公理4，并能运用平行公理证明线线平行．¤预习内容：．1．空间的两条直线有以下位置关系：（1）相交直线：有且只有一个公共点；（2）平行直线：在同一平面内，没有公共点；（3）异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点．需要注意的是：（1）相交直线和平行直线统称为共面直线，而异面直线是不共面直线；（2）本书中，如无特殊说明，“两条直线”指不重合的两条直线，“两个平面”指不重合的两个平面．2．公理4

2、：平行于同一条直线的两条直线互相平行．公理4也叫平行公理，它所表述的性质又叫做空间平行线的传递性，即已知直线a、b、c且a∥b，b∥c，则a∥c；实际上这也给出了空间两条直线平行的一种证明方法．公理4的重要作用是应用它证明等角定理及其推论，为下一步研究异面直线所成的角打基础．3．证明空间两条直线平行的方法：一是利用定义，其需证两件事：（1）两直线在同一平面内；（2）两直线没有公共点．二是利用平行公理．4．等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．等角定理实际上是初中平面几何中等角定理的类比

3、推广：在平面几何中，如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两角相等或互补．5．等角定理的推论：如果两条相交直线和另外的两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等．¤预习反馈：【例1】下列几个平面几何命题是否成立？这几个命题在空间是否成立？如果在空间成立，试加以说明；如果不成立请举反例．（1）不相交的两条直线一定平行；（2）平行于同一直线的两条直线一定平行；（3）垂直于同一直线的两直线一定平行；（3）一条直线垂直于两条平行直线中的一条，也必垂直于另一条．ABCDA1B1C1D1（例1图）解：以上四个平面几

4、何命题均真，在空间只有（2）（4）成立．命题（2）、（4）是教科书中的公理、定理．命题（1）不成立，如在正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线AA1与B1C1；命题（3）不成立，如AA1⊥A1B1，B1C1⊥A1B1，但A1A不平行于B1C1．ABCDA1B1C1D1P（例2图）【例2】如图，在长方体木块的面A1C1上有一点P，怎样过点P画一条直线和棱CD平行？解：在平面A1C1中，过P作C1D1的平行线即可．【例3】如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，已知E、F分别是AB，BC的中点，求证：EF∥A1C1．ABCDA

5、1B1C1D1EF（例3图）解：连结AC．在△ABC中，E，F分别是AB，BC的中点，所以EF∥AC．又因为AA1∥BB1且AA1=BB1，BB1∥CC1且BB1=CC1，所以AA1∥CC1且AA1=CC1，从而四边形AA1C1C是平行四边形，所以AC∥A1C1．从而EF∥A1C1．【例4】如图，已知E，E1分别为正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AD，A1D1的中点，求证：∠C1E1B1=∠CEB．解：连结EE1．因为E1，E分别是A1D1，AD的中点，所以A1E1∥AE且A1E1=AE．ABCDA1B1C1D1（例4图）E

6、E1故四边形A1E1EA是平行四边形，从而A1A∥E1E且A1A=E1E．又因为A1A∥B1B且A1A=B1B，所以E1E∥B1B且E1E=B1B，故四边形EE1B1B是平行四边形．于是E1B1∥EB，同理E1C1∥EC．又因为∠C1E1B1与∠CEB两边的方向相同．所以∠C1E1B1=∠CEB．