抛物线点差法.doc

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1、.点差法————抛物线中点弦问题中的妙用定理在抛物线中，若直线与抛物线相交于M、N两点，点是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则.证明：设M、N两点的坐标分别为、，则有，得又..注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在.同理可证，在抛物线中，若直线与抛物线相交于M、N两点，点是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则.注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在，且不等于零.典题妙解例1抛物线的过焦点的弦的中点的轨迹方程是（）A.B

2、.C.D.解：，焦点在轴上.设弦的中点M的坐标为.由得：，整理得：.所求的轨迹方程为.故选B.例2抛物线上一组斜率为2的平行弦中点的轨迹方程是（）..A.（＞）B.（＞）C.（＞）D.解：由得，，焦点在轴上.设平行弦的中点M的坐标为.由得：，.在中，当时，.点M的轨迹方程为（＞）.故答案选A.例3（03上海）直线被抛物线截得的线段的中点坐标是___________.解：，焦点在轴上.设弦MN的中点P的坐标为，弦MN所在的直线的斜率为，则由得：，从而.所求的中点坐标是.例4抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，它和直线相交，所

3、得的弦的中点在上，求抛物线的方程.解：设抛物线的方程为，直线与抛物线的两个交点为M、N，弦MN的中点P的坐标为.由得：，又点在圆上，解之得：或..由得：直线与抛物线有两个不同的交点，＞0.m＜，或m＞0.故所求的抛物线方程为例5.已知抛物线上永远有关于直线对称的相异两点，求实数的取值范围.解：设抛物线上A、B两点关于直线对称，且弦AB的中点为.OxyABP根据题意，点P在直线上，，.又，，.由，得：，.又由，得：.点在抛物线的开口内，＜.解之得：＜.故实数的取值范围.例6.（05全国Ⅲ文22）设两点在抛物线上，是AB的

4、垂直平分线.（Ⅰ）当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点F？证明你的结论.（Ⅱ）当时，求直线的方程.解：（Ⅰ），.设线段AB的中点为，直线的斜率为，则.若直线的斜率不存在，当且仅当时，AB的垂直平分线为轴，经过抛物线的焦点F.若直线的斜率存在，则其方程为，...由得：，.若直线经过焦点F，则得：，，与相矛盾.当直线的斜率存在时，它不可能经过抛物线的焦点F.综上所述，当且仅当时，直线经过抛物线的焦点F.（Ⅱ）当时，由得：.所求的直线的方程为，即金指点睛1.已知直线与抛物线交于A、B两点，那么线段AB的中点坐标是_____

5、___.2.直线与抛物线交于不同的两点P、Q，若PQ中点的横坐标是2，则=____.3.已知抛物线C的顶点在原点，焦点在轴的正半轴上，直线被抛物线C所截得的弦AB的中点M的纵坐标为，则抛物线C的方程为____________.4.设为抛物线的弦，如果这条弦的垂直平分线的方程为，求弦所在的直线方程.5.过点作抛物线的弦AB，若弦AB恰被Q平分，则AB所在的直线方程为_______.6.已知抛物线上有不同的两点A、B关于直线对称，求实数的取值范围.7.（05全国Ⅲ理21）设两点在抛物线上，是AB的垂直平分线.（Ⅰ）当且仅当

6、取何值时，直线经过抛物线的焦点F？证明你的结论.（Ⅱ）当直线的斜率为2时，求在y轴上的截距的取值范围.8.(08陕西文理20)已知抛物线，直线交C于A、B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N.（Ⅰ）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；（Ⅱ）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，请说明理由...参考答案1.解：，，.直线的斜率为1.由得：.代入求得.线段AB的中点坐标是.2.解：，，.在中，时，，若PQ中点的纵坐标是.由得：，即.解之得：或.由得：.直线与抛物线交于不同的两点，解之得：＞且..由得

7、：.即.设，则..3.解：，，.由得：.AB所在的直线方程为，即.4.解：设抛物线的方程为（m＞0）.在中，斜率为，时，.弦AB的中点M的坐标为.由得：，...所求的抛物线的方程为.5.解：，，.弦所在直线的斜率为1.设弦的中点坐标为.由得：.弦的中点也在直线上，.弦的中点坐标为.弦所在的直线方程为，即.6.解：设弦AB的中点为.根据题意，，.又，，.由，得：，.又由，得：.点在抛物线的开口内，＜.解之得：＞.故实数的取值范围.7.解：（Ⅰ），.设线段AB的中点为，直线的斜率为，则.若直线的斜率不存在，当且仅当时，AB

8、的垂直平分线为轴，经过抛物线的焦点F.若直线的斜率存在，则其方程为，.由得：，.若直线经过焦点F，则得：，，与相矛盾.当直线的斜率存在时，它不可能经过抛物线的焦点F...综上所述，当且仅当时，直线经过抛物线的焦点F.（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知，，直线的方程为，它在y轴上的截距，.直线AB的方程为，即.代入并整理得：.直线AB与抛物线有