解-点差法公式在抛物线中点弦问题中的妙用

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1、“点差法”公式在抛物线中点弦问题中的妙用圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。本文就抛物线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨，以飨读者。定理在抛物线中，若直线与抛物线相交于M、N两点，

2、点是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则.证明：设M、N两点的坐标分别为、，则有，得又..注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在.同理可证，在抛物线中，若直线与抛物线相交于M、N两点，点是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则.注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在，且不等于零.例1．抛物线的过焦点的弦的中点的轨迹方程是（）A.B.C.D.解：，焦点在轴上.设弦的中点M的坐标为.由得：，整理得：.8所求的轨迹方程为.故选B.例2．抛物线上一组斜率为2的平行弦

3、中点的轨迹方程是（）A.（＞）B.（＞）C.（＞）D.解：由得，，焦点在轴上.设平行弦的中点M的坐标为.由得：，.在中，当时，.点M的轨迹方程为（＞）.故答案选A.例3．（03上海）直线被抛物线截得的线段的中点坐标是___________.解：，焦点在轴上.设弦MN的中点P的坐标为，弦MN所在的直线的斜率为，则由得：，从而.所求的中点坐标是.例4．抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，它和直线相交，所得的弦的中点在上，求抛物线的方程.解：设抛物线的方程为，直线与抛物线的两个交点为M、N，弦MN的中点P的坐标为.由得：，又点在圆上，解之得：或8由得：直线与抛物线

4、有两个不同的交点，＞0.m＜，或m＞0.故所求的抛物线方程为例5．已知抛物线上永远有关于直线对称的相异两点，求实数的取值范围.解：设抛物线上A、B两点关于直线对称，且弦AB的中点为.根据题意，点P在直线上，，.又，，.由，得：，.又由，得：.点在抛物线的开口内，＜.解之得：＜.故实数的取值范围.例6.（05全国Ⅲ文22）设两点在抛物线上，是AB的垂直平分线.（Ⅰ）当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点F？证明你的结论.（Ⅱ）当时，求直线的方程.解：（Ⅰ），.设线段AB的中点为，直线的斜率为，则.若直线的斜率不存在，当且仅当时，AB的垂直平分线为轴，经过抛

5、物线的焦点F.若直线的斜率存在，则其方程为，.8由得：，.若直线经过焦点F，则得：，，与相矛盾.当直线的斜率存在时，它不可能经过抛物线的焦点F.综上所述，当且仅当时，直线经过抛物线的焦点F.（Ⅱ）当时，由得：.所求的直线的方程为，即例7．已知直线与抛物线交于A、B两点，那么线段AB的中点坐标是________.解：，，.直线的斜率为1.由得：.代入求得.线段AB的中点坐标是.例8．直线与抛物线交于不同的两点P、Q，若PQ中点的横坐标是2，则=____.解：，，.在中，时，，若PQ中点的纵坐标是.由得：，即.解之得：或.由得：.直线与抛物线交于不同的两点，

6、8解之得：＞且..由得：.即.设，则..例9．已知抛物线C的顶点在原点，焦点在轴的正半轴上，直线被抛物线C所截得的弦AB的中点M的纵坐标为，则抛物线C的方程为____________.解：，，.由得：.AB所在的直线方程为，即.例10．设为抛物线的弦，如果这条弦的垂直平分线的方程为，求弦所在的直线方程.解：设抛物线的方程为（m＞0）.在中，斜率为，时，.弦AB的中点M的坐标为.由得：，.所求的抛物线的方程为.例11．过点作抛物线的弦AB，若弦AB恰被Q平分，则AB所在的直线方程为_______.解：，，.弦所在直线的斜率为1.设弦的中点坐标为.由得：.弦

7、的中点也在直线上，.弦的中点坐标为.弦所在的直线方程为，即.8例12．已知抛物线上有不同的两点A、B关于直线对称，求实数的取值范围.解：设弦AB的中点为.根据题意，，.又，，.由，得：，.又由，得：.点在抛物线的开口内，＜.解之得：＞.故实数的取值范围.例13．（05全国Ⅲ理21）设两点在抛物线上，是AB的垂直平分线.（Ⅰ）当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点F？证明你的结论.（Ⅱ）当直线的斜率为2时，求在y轴上的截距的取值范围.解：（Ⅰ），.设线段AB的中点为，直线的斜率为，则.若直线的斜率不存在，当且仅当时，AB的垂直平分线为轴，经过抛物线的焦点F

8、.若直线的斜率存在，则其方程为，.由得：，.若直线经过焦点F，则得：，，与相矛盾