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《点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、b2_y2-y%+)’2_2Jo_八—1，1——.■1x2-x,%,+x22x()x()证明：设M、N两点的坐标分别为（X,，％）、（x2，y2），则有22a2b222义2>’2U2b21，……(1)(2)⑴一⑵，得2222-^2-0.x2-x,x2+x,a又•：kMN•亡=》•同理可证，在双曲线—~=1（^>0,/?〉0）中，若直线/与双曲线相交于M、N两点,CTb一点户（〜，％）是弦MN的中点，弦MN所在的直线/的斜率为Z:胃，贝!U姗=x0b‘典题妙解2例1己知双曲线C:yd=l,过点P（2，l）作直线/交双曲线C于A、B
2、两点.点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用广西南宁外国语学校隆光诚（邮政编码530007）圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、屮点坐标公式及参数法求解。若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。本文就双曲线的点差法公式在高考中的妙用做
3、一些粗浅的探讨，以飨读者。22定理在双曲线=1（tz>0,/?〉0）中，若直线/与双曲线相交于M、N两点，点a一b一vh2MN2•又oa是弦MN的中点，弦MN所在的直线/的斜率为A顺，则=(1)求弦AB的中点M的轨迹；(2)若P恰为弦AB的中点，求直线/的方程.解：(1)a2=1，62=3,焦点在y轴上.设点M的坐标为(x，y)，由=~得:xtr2zl.2=ix-2x3整王里得：x2-3y2-2x+3j=0....所求的轨迹方程为x2-3)，2-2%+3y=0.(2)vP恰为弦AB的屮点，2•••由么^•上=得：kAIi=即々zw
4、=-•x0tr2332直线/的方程为y—1=—(%—2),即2x-3y-l=0.例2己知双曲线C:2f—/=2与点P(l，2).(1)斜率为且过点P的直线/与C有两个公共点，求A的取值范围;(2)是否存在过点P的弦AB,使得AB的中点为P?(3)试判断以(2(1,1)为中点的弦是否存在.解：(1)直线/的方程为y—2=A(x-l),即k+2-々.y=kx+2-k,[2x2-y£=2.得(人2—2)x2-2(k2-2k)x+女2—4女+6=0.v直线/与C有两个公共点，，fZ:2—2弇0，.••得jA=4(k2-2k)2-4(k2-
5、2)(女2—4女+6)>0.解之得：2ak的取值范围是(-oo-V2)U(-72,72)U(72,-).22⑵双曲线的标准方程为？-f=u⑽设存在过点P的弦AB，使得AB的中点为P,则由=~得：k、2=2，：.k=rtl(1)可知，(=1时，直线/与C有两个公共点，存在这样的弦.这时直线/的方程为y=x+l.Ji（3）设以（2（1，1）为中点的弦存在，则由=1得：k.=2，：.k=2.x0a~由（1）可知，A=2时，直线Z与C没有两个公共点，设以0（1,1）为屮点的弦不存在.例3过点M（-2,0）作直线/交双曲线C:x2—/=
6、1于A、B两点，己知&=&+&（O为坐标原点），求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.解:在双曲线C:x2—y2=1中，a2=b2=i，焦点在x轴上.没弦AB的中点为g.•••OP=OA-^-OB,由平行四边形法则知：O尸=200,即Q是线段OP的中点.y—f2.+=i"得:义a2设点P的坐标为（％，>，），则点Q的坐标为.2_^_.2=^.2=1,x+2xx+4x2整理得：x2-y2+4x=0.配方得.•.点P的轨迹方程是（X+2r—1=1,它是屮心为（-2,0）,对称轴分别为x轴和直线44x+2=0的双曲线.例4.设双曲线C
7、的中心在原点，以抛物线/=2^-4的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线.（I）试求双曲线C的方程；（II）设直线/:>’=2x+l与双曲线C交于A，S两点，求
8、Afi
9、;（HI）对于直线/:y=h+l,是否存在这样的实数使直线/与双曲线C的交点A，B关于直线=+4（6Z为常数）对称，若存在，求出々值；若不存在，请说明理由.解:(I)由—4得y2=2a/^(x—/.在双曲线C中，12^3••p=^，抛物线的顶点是，0），准线是X双曲线C的方程为3x2-/=1.y=2x+1，[3x2-)’2=1.W：x2+4x+2=0
10、(II)由设A(x,,y),B(x2，y2),则+x2=-4,x,x2=2./.
11、AB
12、=7(l+^2)[(^+x2)2-4x,x2]=V(l+22)[(-4)2-4x2]=2VlO.（Ill）假设存在这样的实数使直线/与双曲线C的交点人B关于直
