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1、华南农业大学理学院应用数学系Probability概率第一章随机事件及其概率第四章随机变量的数字特征第二章随机变量及其概率分布第三章二维随机变量及其分布随机变量的数字特征第四章数学期望方差*协方差与相关系数*大数定律与中心极限定理第一节数学期望数学期望E(X)设离散型随机变量的概率分布为MathematicalExpectation定义离散型随机变量连续型随机变量X的数学期望E(X)连续型随机变量定义设连续型随机变量X的概率密度为f(x),则数学期望的意义E(X)反映了随机变量X取值的“概率平均”,是X的可能值以其相应概率的加权平均
2、。试验次数较大时，X的观测值的算术平均值在E(X)附近摆动数学期望又可以称为期望值(ExpectedValue)，均值(Mean)ExpectedValueasaPointofBalanceXP41/451/261/4数学期望的计算已知随机变量X的分布律：E(X)=1/4×4+1/2×5+1/4×6=5例数学期望的计算已知随机变量X的密度函数：例二维随机变量的数学期望(X,Y)为二维离散型随机变量(X,Y)为二维连续型随机变量设(X,Y)的联合密度为例(1)求k(2)求X和Y的边缘密度(3)求E(X),E(Y).(1)(2)时解（３
3、）时随机变量的函数的数学期望定理1：一维情形设是随机变量X的函数,离散型连续型概率密度为随机变量的函数的数学期望定理2：二维情形离散型连续型联合概率密度为设是随机变量X，Y的函数,服从已知上的均匀分布，求的数学期望。因为所以例解例设国际市场每年对我国某种出口商品的需求量(吨)服从区间[2000,4000]上的均匀分布.若售出这种商品1吨，可挣得外汇3万元，但如果销售不出而囤积于仓库，则每吨需保管费1万元，问应预备多少吨这种商品，才能使国家的收益最大？数学期望的性质.相互独立时当随机变量C为常数..设（X,Y）在由4个点（0，0）（3
4、，0），（3，2),(0,2)决定的矩形域内服从均匀分布，求E(X+Y),E(X2)E(Y2),E(XY).302练一练提示：方法1：求出两个边缘概率密度，并利用X与Y的独立性方法2：不用边缘概率密度，直接利用计算期望公式两点分布的数学期望X服从两点分布，其概率分布为P(X=1)=pP(X=0)=1-pXP011-pp若X服从参数为p的两点分布，则E(X)=p分布律数学期望E(X)=pIfX~B(n,p),thenE(X)=np二项分布的数学期望二项分布表示为个０－１分布的和分布律X服从二项分布，其概率分布为数学期望在第次试验中出现
5、的次数,则有表示直观意义？E(X)=np泊松分布的数学期望If,then分布律数学期望E(X)=λ帕斯卡分布的数学期望IfX~NB(r,p),thenE(X)=r/p分布律数学期望E(X)=r/p均匀分布的期望分布密度数学期望E(X)=(a+b)/2指数分布的期望分布密度数学期望E(X)=1/λX~N(μ，σ2）正态分布的期望分布密度数学期望E(X)=μ数学期望在医学上的一个应用AnapplicationofExpectedValueinMedicine考虑用验血的方法在人群中普查某种疾病。集体做法是每10个人一组，把这10个人的血
6、液样本混合起来进行化验。如果结果为阴性，则10个人只需化验1次；若结果为阳性，则需对10个人在逐个化验，总计化验11次。假定人群中这种病的患病率是10%，且每人患病与否是相互独立的。试问：这种分组化验的方法与通常的逐一化验方法相比，是否能减少化验次数？分析：设随机抽取的10人组所需的化验次数为X我们需要计算X的数学期望，然后与10比较因为期望值是概率平均值化验次数X的可能取值为1，11先求出化验次数X的分布律。(X=1)=“10人都是阴性”P(X=1)=(1-0.1)10=0.910（X=11)=“至少1人阳性”P(X=11)=1-
7、P（X=1)=1-0.910E(X)=0.910×1+(1-0.910）×11=7.513<10结论：分组化验法的次数少于逐一化验法的次数注意求X期望值的步骤！例独立地操作两台仪器，他们发生故障的概率分别为p1和p2.证明：产生故障的仪器数目的数学期望为p1+p2Step1.设随机变量X设产生故障的仪器数目为XStep2.求X的分布律I.找出X的所有可能取值X=0,1,2II.计算每个取值的概率P(X=0)=(1-p1)(1-p2)P(X=1)=p1(1-p2)+(1-p1)p2P(X=2)=p1p2E(X)=[p1(1-p2)+(
8、1-p1)p2]+2p1p2=p1+p2Step3.计算E(X)解第二节方差方差Variance定义＝设是一随机变量，如果的方差，记为存在，则称为或均方差/标准差与有相同的量纲一维随机变量的方差设离散随机变量X的概率分布为离散型连续型
