概率统计2.3.ppt

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1、第三节随机变量的数字特征一、数学期望(MathematicalExpectation)二、方差(Variance)三、切比雪夫(ЛевПaвловичЧебышев)不等式四、矩（Moment).1在许多实际问题中,随机变量分布规律不易求得或不需求得，而只需了解其某些数字特征，而数字特征常常容易通过数理统计的方法得到.本节要讨论三个数字特征：数学期望，方差（涉及切比雪夫不等式）与矩.2一、数学期望(MathematicalExpectation)1.序：对数学期望的理解3有甲、乙两射手，他们的射击技术如下表：1）离散型随机变量的数学期望例

2、1甲：击中环数891030%10%60%频率乙：击中环数891020%50%30%频率问哪一个射手水平较高？解假定各射N枪，则平均每枪所得环数约为甲：4问哪一个射手水平较高？解假定各射N枪，则平均每枪所得环数约为甲：乙：可见甲的水平高些.甲：击中环数891030%10%60%频率乙：击中环数891020%50%30%频率50-1分布例2设随机变量X服从参数为p的0-1分布,求EX.6例3面额为1元的彩票共发行1万张，其中可得奖金1000元、20元、5元的彩票分别有2张、50张和500张.若某人购买1张彩票，则他获奖金额X的数学期望E(X)

3、为多少？解10002050.0002XP00.0050.050.9448则7首先要对未来市场作出适当估计.假定企业领导人认为未来市场萧条较之市场繁荣是2对1之比，即市场萧条和繁荣的概率分别为2/3和1/3,因此,如果立即扩展，则利润的期望值是例4假定有一个商业企业面临着是否扩大经营问题，根据现有资料估计，如果未来的市场繁荣而现在就进行扩展经营，则一年内可以获利328(万元)；如果未来市场萧条，则将损失80(万元).如果这个企业等待下一年再扩展，在市场繁荣的情况下，将获利160(万元),而在市场萧条的情况下，则仅能获利16(万元).现在的问

4、题是，这个企业的领导人将怎样作出决策？数学期望在经济管理中经常用到，特别是在决策问题中.解8市场萧条和繁荣的概率分别为2/3和1/3,如果立即扩展，则利润的期望值是如果他决定下一年再扩展，则利润的期望值为按此计算结果，自然应当以采取推迟扩展的决策为有利.如果领导人对未来市场的估计不是2:1，而是3:2，那么，他立即扩展所期望的利润为9如果领导人对未来市场的估计不是2:1，而是3:2，那么，他立即扩展所期望的利润为而推迟扩展所期望的利润为按此计算结果，则立即扩展较为有利.10例5(一种验血新技术)在一个人数很多的单位中普查某种疾病,N个人去

5、验血,有两种方法:(1)每个人的血分别化验,共需N次;(2)把k个人的血样混在一起化验,如果结果是阴性,那么一次就够了；如果呈阳性,那么对这k个人的血样再逐次化验,共需k+1次.假定对所有人来说,呈阳性的概率为p,且相互独立,下面说明当p较小时,方法(2)能减少化验的次数.解用方法(2)验血时,每个人需化验的次数X的概率分布为11用方法(2)验血时,每个人需化验的次数X的概率分布为因此，N个人需化验的次数的数学期望为例如，2）连续型随机变量的数学期望12例6设随机变量X服从区间[a,b]上的均匀分布,求EX.解X的概率密度为区间中点13解

6、例7设随机变量X的概率密度函数为求X的数学期望.14解例8某种电子元器件的使用寿命X是个随机变量，其概率密度为若规定使用寿命在500小时以下为废品，产值为0；在500到1000小时之间为次品，产值为10元；在1000到1500小时之间为二等品，产值为30元；1500小时以上者为一等品，产值为40元，求该种产品的平均产值.设该种产品的产值为Y元，15所以16解例9设随机变量X的概率密度函数为由规范性，而172.数学期望的性质1）线性性质其中a，b，C是常数.特例：2）乘积的性质18182）的证明19关于推论：独立条件下，协方差等于零的证明2

7、03）随机变量的函数的数学期望21解X-2-100.1P10.20.30.4例10设随机变量X的概率分布如下：或利用性质：22解例11设随机变量X的概率密度为拉普拉斯分布23例12设随机变量X服从区间[a,b]上的均匀分布，求E(X2)及E(X-EX)2.解X的概率密度为24解例13游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光，电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起行．假设有一游客在早上8点的第X分钟到达底层等候电梯，且X在[0,60]上均匀分布，求该游客等候时间的数学期望．以Y表示游客的等候时间，则故25二、方差(Variance)随

8、机变量X的数学期望，描述了随机变量X取值的集中趋势或平均水平，但是仅仅知道X的数学期望有时还不能完全刻划随机变量X的统计特征.1.引例引例现有两个单位，甲单位共三人，工资结构为：1500，20