概率统计2011年期末考试题(解答提示).doc

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1、概率统计2011年期末考试题一、简答题（40分）1.给出样本空间Ω的有限划分的定义，有限划分唯一吗？（请举例）【提示：定义见书，划分不唯一，如B1,B2,B3构成一种有限划分，则还可用B1和B1的逆（即B2∪B3）构成有限划分】2.设随机变量X1,X2是来自总体N(μ,σ2)的样本，试问随机变量X1+X22与(X1-X2)22相互独立吗？请解释你的结论。【提示：独立；根据抽样分布定理6.2.4结论，X与S2相互独立，这里X1+X22就是样本均值，(X1-X2)22是样本方差的化简形式】3.设(X,Y)是相互独立的二维随机变

2、量，X~N(μ,σ2),Y~N(μ,σ2),记Z1=αX+βY,Z2=αX-βY,(其中α，β是为不零的常数)。试求Z1与Z2的相关系数，并讨论α，β取何值时Z1与Z2相互独立。【提示：首先，Z1与Z2是(X,Y)的线性组合，从而构成二维正态分布；其次，计算出其相关系数，***；最后，根据“二维正态分布中，Z1与Z2相互独立的充要条件是相关系数为0”，推导α，β取值】4.设总体X的概率密度为fx,θ=θxθ-1，00,X1,X2,…,Xn是X的一给容量为n的一组样本。试求未知参数θ的矩估计。【提示：

3、计算期望，令EX=x可得矩估计量。注意：估计量加上三角符号，随机变量大写。】5.若θ是θ的无偏估计，且有Dθ>0,试讨论θ2=（θ）2是否θ2的无偏估计？【提示：不是无偏估计——即判断Eθ2=θ2是否成立，Eθ2=Dθ+Eθ2……】二、设随机变量X的分布函数F(x)连续，且严格单调递增，计算随机变量Y=F(X)的分布函数并确定其分布。【提示：注意到Y=F(X)的取值范围为[0,1](根据分布函数性质)FYy=PY≤y=PFX≤y=PX≤F-1y=FF-1y=y,0≤y≤10,其他，这是均匀分布，Y~U(0,1)】三、某公司

4、出口某商品，设海外市场对该商品的年需求量是随机变量X，且X~U(2000,4000)（单位：吨）。每售出此商品1吨，获利3万元，而未售出的存储费用为1万元/吨。设本年度该公司准备了t吨商品，试计算其平均收益？每年准备多少吨获益最大？【提示：参考第四章应用部分，类似报童问题】四、设总体X的概率密度为fx,θ=12θe-

5、x

6、θ,θ∈R其中参数θ>0，X1,X2,…,Xn是X的一组容量为n的样本。试求未知参数θ的极大似然估计。【提示：注意1.四个步骤；2.似然函数里用小写xi，最好给出定义域；3.最后估计量加上三角，Xi大写】

7、五、一般正常成年男子血红蛋白的平均值为140g/L，某研究者随机抽取25名青藏高原地区成年男子进行检查，得到血红蛋白平均数为155g/L,标准差为25g/L。问高原地我成年男子的血红蛋白是否正常？（α=0.05）（t0.0525=1.7081,t0.0524=1.7109,t0.02525=2.0595,t0.02524=2.0639）【提示：设随机变量，由于方差未知，用t检验法判断】六、某医院用光电比色计检验尿汞时，得尿汞含量X与消光系数读数Y的五组观测数据(xi,yi)分别为(2,64),(4,138),(6,205)

8、,(8,285),(10,360)，设消光系数Y关于尿汞含量X的理论归方程为Y=α+βx+ε,且ε~N(0,σ2)。（1）用最小二乘法求Y关于X的经验回归方程；（2）用相关系数检验法检验回归方程是否显著。其中α=001,R0.013=0.959。【提示：参考例9.2.1和9.2.2，注意估计参数加上三角符号。带计算器】