2019-2020学年山西省长治二中高二（上）期中数学试卷（理科）.docx

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2019-2020学年山西省长治二中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若直线过点，，则此直线的倾斜角是　　A．B．C．D．2．（5分）圆的圆心坐标是　　A．B．C．D．3．（5分）设，是两条不同的直线，表示平面，下列说法正确的是　　A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则4．（5分）在下列条件中，与、、一定共面的是　　A．B．C．D．5．（5分）已知直线，与平行，则的值是　　A．0或1B．1或C．0或D．6．（5分）如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则　　A．B．C．D．7．（5分）直线关于直线对称的直线方程是　　A．B．C．D．第20页（共20页） 8．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为　　A．B．C．D．9．（5分）在正四面体中，棱长为2，且是棱中点，则的值为　　A．B．1C．D．10．（5分）已知直线与直线的交点位于第一象限，则实数的取值范围是　　A．B．或C．D．11．（5分）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是　　A．4B．8C．12D．1612．（5分）在四棱锥中，底面，底面为正方形，，点为正方形内部的一点，且，则直线与所成角的余弦值的取值范围为　　第20页（共20页） A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答卷的相应位置．13．（5分）两平行直线与间的距离为　　．14．（5分）经过点且在两轴上截距相等的直线是　　．15．（5分）若的图象与直线有两个不同交点，则的取值范围是　　．16．（5分）在四面体中，，，，二面角的余弦值是，则该四面体的外接球的表面积是　　．三、解答题：本大题共70分17．（10分）已知圆过、两点，且圆心在直线上．（1）求圆的方程；（2）判断点与圆的位置关系．18．（12分）已知内角，，的对边分别为，，，向量，且．（1）求角；（2）若，的面积为，求的周长．19．（12分）在如图所示的几何体中，四边形为正方形，平面，，，．（Ⅰ）求证：平面（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值．20．（12分）如图，在中，边上的高所在的直线方程为，第20页（共20页） 的平分线所在的直线方程为，若点的坐标为，求：（Ⅰ）点和点的坐标；（Ⅱ）的面积．21．（12分）将两块三角板按图甲方式拼好，其中，，，，现将三角板沿折起，使在平面上的射影恰好在上，如图乙．（1）求证：平面；（2）求二面角的大小的正弦值．22．（12分）如图，在四棱锥中，底面是圆内接四边形，，，．（1）求证：平面平面；（2）若点在侧面内运动，且平面，求直线与平面所成角的正弦值的最大值．第20页（共20页） 第20页（共20页） 2019-2020学年山西省长治二中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若直线过点，，则此直线的倾斜角是　　A．B．C．D．【解答】解：直线过点，，设此直线的倾斜角是，则，，故选：．2．（5分）圆的圆心坐标是　　A．B．C．D．【解答】解：将圆化成标准方程，得圆表示以为圆心，半径的圆故选：．3．（5分）设，是两条不同的直线，表示平面，下列说法正确的是　　A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则【解答】解：，，则或与异面，故错误；若直线与平面垂直的定义可知，若，则垂直于面内的任意直线，故正确；若，，则或，故错误；若，，则、相交或或，故错误故选：．4．（5分）在下列条件中，与、、一定共面的是　　A．B．第20页（共20页） C．D．【解答】解：中，由，得，则，，为共面向量，即、、、四点共面．对于，，、、、四点不共面对于，，、、、四点不共面对于，，，系数和不为1，、、、四点不共面故选：．5．（5分）已知直线，与平行，则的值是　　A．0或1B．1或C．0或D．【解答】解：当时，两直线的斜率都不存在，它们的方程分别是，，显然两直线是平行的．当时，两直线的斜率都存在，故它们的斜率相等，由，解得：．综上，或，故选：．6．（5分）如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则　　A．B．C．D．【解答】解：由题意第20页（共20页） 又，，故选：．7．（5分）直线关于直线对称的直线方程是　　A．B．C．D．【解答】解：解法一（利用相关点法）设所求直线上任一点，则它关于对称点为在直线上，化简得故选答案．解法二：根据直线关于直线对称的直线斜率是互为相反数得答案或，再根据两直线交点为选答案故选：．8．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为　　第20页（共20页） A．B．C．D．【解答】解：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，正方体切掉部分的体积为，剩余部分体积为，截去部分体积与剩余部分体积的比值为．故选：．9．（5分）在正四面体中，棱长为2，且是棱中点，则的值为　　A．B．1C．D．【解答】解：如图，为正四面体，则，是棱中点，所以，，所以，故选：．第20页（共20页） 10．（5分）已知直线与直线的交点位于第一象限，则实数的取值范围是　　A．B．或C．D．【解答】解：联立，解得，直线与直线的交点位于第一象限，，解得．故选：．11．（5分）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是　　A．4B．8C．12D．16第20页（共20页） 【解答】解：根据正六边形的性质，则，满足题意，而，，，，，和一样，有，当为底面矩形，有4个满足题意，当为底面矩形，有4个满足题意，故有故选：．12．（5分）在四棱锥中，底面，底面为正方形，，点为正方形内部的一点，且，则直线与所成角的余弦值的取值范围为　　A．B．C．D．【解答】解：如图由题意建立如图所示的空间直角坐标系坐标系，为轴，为轴，为轴，则，0，，，0，，，3，，，0，，点为正方形内部的一点，且，设点，，，，则，，，，，3，，，第20页（共20页） ，令，，；故选：．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答卷的相应位置．13．（5分）两平行直线与间的距离为　　．【解答】解：两平行直线与间的距离为：．故答案为：．14．（5分）经过点且在两轴上截距相等的直线是　或　．【解答】解：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为，把代入所设的方程得：，则所求直线的方程为；②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为，把代入所求的方程得：，则所求直线的方程为．综上，所求直线的方程为：或．故答案为：或15．（5分）若的图象与直线有两个不同交点，则的取值范围是　　．【解答】解：方程有两个不同的实数解，即函数与函数有两个不同的交点．的图象过定点，是两条射线，直线的图象过定点，斜率为1第20页（共20页） ，如图所示：所以的取值范围是：；故答案为：．16．（5分）在四面体中，，，，二面角的余弦值是，则该四面体的外接球的表面积是　　．【解答】解：由，得的外接圆的圆心为中点，连接，，由和有，而四面体外接球的球心在平面内，连接，有底面将平面取出，则，，用余弦定理可得，，作的中垂线，过作的垂线，两者必相交于，用余弦定理，，如图，，也就是，，三点重合，外接圆的半径，球的表面积是故答案为：．第20页（共20页） 三、解答题：本大题共70分17．（10分）已知圆过、两点，且圆心在直线上．（1）求圆的方程；（2）判断点与圆的位置关系．【解答】解：（1）圆心在直线上，设圆心坐标为，则，即，即，解得，即圆心为，半径，则圆的标准方程为，（2），点在圆的外面．18．（12分）已知内角，，的对边分别为，，，向量，且．（1）求角；（2）若，的面积为，求的周长．【解答】解：（1）由，且．第20页（共20页） 所以．由正弦定理得：．，整理得，由，可得，由于，所以．（2）由于，的面积为，所以，整理得，由余弦定理，，整理得，解得．所以三角形的周长为．19．（12分）在如图所示的几何体中，四边形为正方形，平面，，，．（Ⅰ）求证：平面（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）设中点为，连结，，，且，，，且，四边形是平行四边形，，且，正方形，，，，且，四边形是平行四边形，，第20页（共20页） 平面，平面，平面．解：（Ⅱ）如图，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，6，，，0，，，0，，，6，，，6，，，6，，，0，，设平面的一个法向量为，，，，取，得，1，，设与平面所成有为，则，与平面所成角的正弦值为．20．（12分）如图，在中，边上的高所在的直线方程为，的平分线所在的直线方程为，若点的坐标为，求：（Ⅰ）点和点的坐标；（Ⅱ）的面积．第20页（共20页） 【解答】解：（Ⅰ）由得顶点．（1分）又的斜率．（2分）轴是的平分线，故的斜率为，所在直线的方程为①（4分）已知上的高所在直线的方程为，故的斜率为，所在的直线方程为②（6分）解①，②得顶点的坐标为．（7分）（Ⅱ）（8分）又直线的方程是到直线的距离（10分）所以的面积（12分）21．（12分）将两块三角板按图甲方式拼好，其中，，，，现将三角板沿折起，使在平面上的射影恰好在上，如图乙．（1）求证：平面；（2）求二面角的大小的正弦值．【解答】解：（1）证明：设在的射影为，则平面，，又，平面，第20页（共20页） ，又，平面．（2）解：由（1），又，，，为中点，以为轴，为轴，过且与平行的直线为轴，建系，则，0，，，0，，，，，，0，，，，，0，，设，，为平面的法向量，则，取，得，，，，0，为平面的法向量，设二面角的大小为，则，，二面角的正弦值为．22．（12分）如图，在四棱锥中，底面是圆内接四边形，，，．（1）求证：平面平面；（2）若点在侧面内运动，且平面，求直线与平面所成角的正弦值的最大值．第20页（共20页） 【解答】证明：（1）连接，，交于点，连接，，，，又，，面，从而，又是直径，，由，，解得，，则，故；故平面，平面平面．（5分）解：（2）取的中点，的中点，连接，，则，且平面，平面；而，，，且平面，平面．综上所述，平面平面，点在线段上．如图建立空间直角坐标系，则，0，，，，，，0，，，0，，，，，，，，，，，，，0，，设平面法向量为，，，则，取，设，可得，，，设直线与平面所成角为，则．第20页（共20页） 当时，的最大值为．第20页（共20页）