实变函数与泛函分析基础(第三版).doc

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1、主要内容本章讨论的点集理论，不仅是以后学习测度理论和新积分理论的基础，也为一般的抽象空间的研究提供了具体的模型.学习本章时应注意以下几点.1、本章的基本概念较多，且有些概念（如内点、聚点、边界点等）相互联系，形式上也常有类似之处，因而容易混淆.学习这些概念时要细心认真，注意准确牢固地掌握每一个概念的实质，学习时可同其类似的概念对照，注意区别概念间的异同点.尤其要注意的是，本章对有些概念（如聚点），给出了多种等价（充要）条件，这将有利于理解概念的本质，特别是在讨论某些具体问题时，如能恰当地选用某种条件，常常会给问题的解决带来方便.所以对等价条件必须深刻理解，熟练灵活地运用.2、在

2、开集、闭集和完备集的性质的讨论中，开集是基础，因为闭集是开集的补集，完备集是一种特殊的闭集，所以弄清了开集的性质，闭集和完备集的性质也就自然得到了.3、本章中定理亦较多，对定理的学习，要注意弄清下述三点：一是定理的条件和要证的结论；二是定理的证明方法和推理过程；三是定理的意义和作用.要特别注意论证思路和方法，这样才能逐步提高分问题和解决问题的能力.同是定理，然它们的意义和作用也会不尽相同.本章有些定理，如有限覆盖定理（定理2.2.5），聚点存在定理（定理2.1.5）以及直线上开集的结构定理（定理2.3.1）等都是本章中的重要定理，在今后的学习中常有应用.　　4、康托集是本章给出

3、的一个重要例子.对它的一些特殊性质，在直观上是难以想象的，比如它既是不包含任何区间的完备集，同时它还具有连续基数，下章中我们还将证明它的测度为零.正是因为它的这些“奇怪”性质，使得它在许多问题的讨论中起着重要作用.复习题一、判断题1、设，，则。（×）2、设，，则。（×）3、设，则。（×）4、设点为点集的内点，则。（√）5、设点为点集的外点，则。（√）6、设点为点集的边界点，则。（×）7、设点为点集的内点，则为的聚点，反之为的聚点，则为的内点。（×）8、设点为点集的聚点，则为的边界点。（×）9、设点为点集的聚点，且不是的内点，则为的边界点。（√）10、设点为点集的孤立点，则为的边

4、界点。（√）11、设点为点集的外点，则不是的聚点，也不是的边界点。（√）12、开集中的每个点都是内点，也是聚点。（√）13、开集中可以含有边界点和孤立点。（×）14、是开集的内部（开核）。（√）15、任意多个开集的并集仍为开集。（√）16、任意多个开集的交集仍为开集。（×）17、有限个开集的交集仍为开集。（√）18、闭集中的每个点都是聚点。（×）19、和都是闭集。（√）20、是闭集。（√）21、任意多个闭集的交集仍为闭集。（√）22、任意多个闭集的并集仍为闭集。（×）23、有限个闭集的并集仍为闭集。（√）24、是开集是闭集。（√）25、是完全集（完备集）是无孤立点的闭集。（√）

5、二、填空题1、设，是上的全部有理点，则；的内部空集；。2、设，，则；的内部空集；。3、设，，则；的内部；。4、设是康托（三分）集，则为闭集；为完全集；没有内点；c；0。5、设为上的开集的构成区间，则满足，且，。6、设，写出的所有的构成区间。7、设，写出的所有的构成区间。8、设为上的闭集，为的孤立点，则必为的两个邻接区间的公共端点。9、设为上的闭集，则的邻接区间必为的构成区间。三、证明题1、证明：。证明：因为，，所以，，，从而反之，对任意，即对任意，有为无限集，从而为无限集或为无限集至少有一个成立，即或，所以，，。综上所述，。2、证明：若为闭集，则为开集；若为开集，则为闭集。证明

6、：若为闭集，对任意，有，所以，不是的聚点。注意到为闭集，存在，使得，即，所以，是的内点。故是开集。（反证法）若不是闭集，则存在的一个聚点，从而。有是开集，存在，所以，这与是的一个聚点矛盾。故为闭集。3、证明：为闭集。证明：因为为闭集，则，而，所以。反之，因为，所以，，即为闭集。4、证明：开集减闭集的差集仍为开集；闭集减开集的差集仍为闭集。证明：记为开集，为闭集。由于，，且两个开集的交集仍为开集，两个闭集的交集仍为闭集，开集的余集是闭集，闭集的余集是开集，所以，是开集，是闭集。5、设是上的实值连续函数，则对任意实常数，为开集，为闭集。证明：对任意，有，由连续函数的局部保号性，存在

7、，使对任意，有，即，所以，，即为的内点。所以为开集。又是开集，所以，为闭集。6.证明：中任意闭集都可以表示成可数个开集的交。证：设为任意一个闭集，令，则均是开集，且，从而．下证：．对，则对,，使得，即，于是，从而．但是闭集，所以，故．因此，可以表示成可数个开集的交。证毕。7．是Ｒ上的连续函数，是开集，则一定是开集．证明：若则结论成立；若则对即又是开集，故，又在连续，对上述，使得当时，有，可见，当时，，从而可知，即是开集．