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《实变函数与泛函分析基础第三版答案.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、泛函分析习题解答1、设(X,d)为一度量空间，令U(x0,){x
2、xX,d(x,x0)}S(x0,){x
3、xX,d(x,x0)}，问U(x0,)的闭包是否等于S(x0,)。解答：在一般度量空间中不成立U(x0,)S(x0,)，例如：取R1的度量子空间X[0,1]U[2,3]，则X中的开球U(1,1){xX;d(1,x)1}的的闭包是[0,1]，而S(1,1){xX;d(1,x)1}[0,1]U{2}2、设C[a,b]是区间[a,b]上无限次可微函数全体，定义d(f,g)1
4、f(r)(t)g(r)(t)
5、2rmax(r)(t)g(r)，证明：r0atb1
6、
7、f(t)
8、C[a,b]按d(f,g)构成度量空间。证明：（1）显然d(f,g)0且d(f,g)01
9、f(r)(t)g(r)(t)
10、0r,t[a,b]有r,rmax
11、f(r)(t)g(r)(t)
12、2tb1a
13、f(r)(t)g(r)(t)
14、0，特别当r0,t[a,b]时有
15、f(t)g(t)
16、0t[a,b]有f(t)g(t)。t（2）由函数f(t)t在[0,)上单调增加，从而对f,g,hC[a,b]有1d(f,g)1max
17、f(r)(t)g(r)(t)
18、2r1
19、f(r)(t)(r)(t)
20、r0atbg=1max
21、f(r)(t)h(r)(t)h(r)(t)g(r
22、)(t)
23、r02ratb1
24、f(r)(t)h(r)(t)h(r)(t)g(r)(t)
25、1max
26、f(r)(t)h(r)(t)
27、
28、h(r)(t)g(r)(t)
29、r
30、f(r)(t)h(r)(t)
31、(r)(t)g(r)(t)
32、r02atb1
33、h=1max
34、f(r)(t)h(r)(t)
35、02r
36、f(r)(t)(r)(t)
37、(r)(t)g(r)(t)
38、ratb1h
39、h1max1
40、f(r)(t)
41、h(r)(t)g(r)(t)
42、g(r)(t)
43、r02ratbh(r)(t)
44、
45、h(r)(t)1max
46、f(r)(t)h(r)(t)
47、1max
48、h(r)(t)02r
49、f(r)
50、(t)(r)(t)
51、r
52、h(r)(t)ratb1hr02atb1d(f,h)d(h,g)(r)g(t)
53、即三角不等式成立d(f,g)d(f,h)d(h,g)。3、设B是度量空间X中的闭集，证明必有一列开集O1,O2,LOn,L包含B，而且IOnB。n11证明：设B为度量空间X中的闭集，作集：On{x
54、d(x,B)},(n1,2,⋯⋯)，On为开集，从而只要n证BIOn；n1可实上，由于任意正整数n，有BOn，故：BIOn。n1另一方面，对任意的x0IOn，有0d(x0,B)1，(n1,2⋯⋯)nn1令n有d(x0,B)0。所以x0B（因B为闭集）。这就
55、是说，IOnBn1综上所证有：BIOn。n14、设d(x,y)为度量空间(X,d)上的距离，证明d(x,y)d(x,y)也是X上的距离。1d(x,y)证明：首先由d(x,y)为度量空间(X,d)上的距离且d(x,y)d(x,y)0，因此显然有d(x,y)且d(x,y)1d(x,y)的充要条件是d(x,y)0，而d(x,y)0的充要条件是xy，因此d(x,y)0的充要条件是xy。其次由函数t在[0,)上单调增加有f(t)1td(x,y)d(x,y)d(x,z)d(y,z)d(x,y)1d(x,z)d(y,z)1d(x,z)d(y,z)1d(x,z)d(y,
56、z)1d(x,z)d(y,z)d(x,z)d(y,z)d(x,z)d(y,z)1d(x,z)1d(y,z)即三角不等式成立。所以d(x,y)也是X上的距离。5、证明点列{fn}按题2中距离收敛于fC[a,b]的充要条件为fn的各阶导数在[a,b]上一致收敛于f的各阶导数。证明：由题2距离的定义：d(f,g)1max
57、f(r)(t)g(r)(t)
58、则有：r1
59、f(r)(t)g(r)(t)
60、r02atb若{fn}上述距离收敛于f，则d(fn,f)1max
61、fn(r)(t)f(r)(t)
62、0(n)。所以对任何非负整r02ratb1
63、fn(r)(t)f(r)(t
64、)
65、数r有：max
66、fn(r)(t)f(r)(t)
67、2rd(fn,f)0(n)。由此对任何非负实数r有atb1
68、fn(r)(t)f(r)(t)
69、max
70、fn(r)(t)f(r)(t)
71、0(n)。atb从而对任何非负整数r，fn的各阶导数fn(r)在[a,b]上一致收敛于f的各阶导数f(r)。反之：若对每个r，fn的各阶导数fn(r)在[a,b]上一致收敛于f的各阶导数f(r)，则对每个r0,1,2,L有max
72、fn(r)(t)f(r)(t)
73、0(n)，则0,Nr,nNr有：max
74、fn(r)(t)f(r)(t)
75、atbatb从而对任意的非负实数
76、fn(r
77、)(t)f(r)(t)
78、r有：max
79、fn(r)(t)。又由于atb1f(t)
80、
