实变函数与泛函分析基础习题.doc

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1、第一章集合4.证明，cs(u^)=nc-A.I—1I证明areC.(UAllllli

2、工WS、但工宅口A・，因此对任总2电44<,因而t—1<—1X€nC,4t-SxGnCMi—1&证明limAn=Unfi—•<»n—1m—f>证明lix€lim则存在M使一切n>N^eAn.所以工€A儿nu0Afl—*OQTIl・fl十1f>*»lTT>・fl所以limztnC0n4m.X€0A心，则右F使工€Q仏，即对任总m>n,{jfl—*8H—

3、■1Ffl—FBfl—1FII—flWV-»flx€所以工€lim/4n-n—*txj因此lim4n=Un4m.R—*00Fl—1ni—fl12.证明,所有系数为宵理数的多:爼成I放集.远明设俎是n次存理系软多项式的全体，n=L2,-.*tWlM=JAn.An由n+1个n—0独立的记号所決定，即几次多项式的n+l个”理数系敖，其中肖项系数町取除0以外的一列#理ft,Kte系数叮取二切〃理数，因此毎个记号迪立地跑対•个可数集，因此由M定理6X=亠又由§4定理4亍=a.16.i殳A是■数集合,则A的所WVRf•集作成的集4炉必可■证明设4={却严…}"的有限片集的全^A.An={SZ2,

4、•••,%},Ab的F集的n—1'兀•易汁算兀中焦有2"个尤索，而4=J4W，因此久至多为町数的.乂4中个尤奈纽成的集今是町数的，因而j是叮数的.第二章点集注：E。表示开核，日表示导集，E表示闭包.3.设E2={(z,!Z)

5、z2+2z2<1}.求E2在R2内的戲禺民・解Ej={(召切

6、丄2+沪

7、x2+J/2<1},Ei={(x,y)x2+y2<1}.4.设E?是函数fsin丄，当工式0,y=x(o,当h=0的图形上的点所作成的集合，/I：R2内讨论耳的硝与E§.解E^=E3U{(O^)

8、-I

9、F.证明若F是闭集，则FYF,因此F=FUFZ=F.若F=只则FcFuF=P=F,因此F是闭集.7.证明：开集减闭集后的基集仍是歼集；闭集减开集后的差仍是闭集.证明设G是开集，F是闭集，则CG是闭集，CF是开集.所以G—F=GCCF是开集，F-G=FnCG是闭集.第三章测度论2•证明：可数点集的外测度为石.证明设E={XiM=1,2,・.・}.对任意€>0,存在开区间A,使％€A,且IAI=鈕在OOOO於空间中取边长为席的包含％的开区间A),所以UAnE,且刀

10、川=€・ihw的任意i=l»=1性得m*E=0.3.若m-E=0,则E可测.证明任怠集合TT=(EnT)U(TnCE),所以

11、m*T

12、，mP=m[0,1]-m([0,1]-P)=1-1=0,即康托尔集合的测度为0.10.设A.BCBP,证明成立不等式：UZ?)+m*(ACiZ?)

13、整数,试证:001AHmEfn-f<-—kooK是E中使人(可收敛干f(x)的点集.证明设4为E中fn收敛的点集.对任意HG4任意k.存在N,使n>N时.IfnM-f(X)

14、V占因此・•ar€limE

15、/n-/

16、oo由A：的任意性，得OO[•—n-8对任意HGnlimE\fn-f<1],对任意€>0・存在M),使点V€,H2GlimEJb=ln—>oon—*ooL」可知存在N,使T1>N时，XQE^fn-f<^y即Ifn(x)-/(