三角形的中位线定理.docx

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1、《三角形的中位线定理》教学设计一、教学目标1.理解三角形中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．能较熟练地应用三角形的中位线定理进行有关的证明和计算。2.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力．能运用综合法证明有关三角形的中位线定理的结论．理解在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法。二、教学重难点1.重点：掌握和运用三角形的中位线定理。2.难点：三角形的中位线定理的证明（辅助线的添加方法）。三、教学过程（一）导入新课：生活中，我们有时会遇到这样的问题：如图，池塘对岸有两棵树A、B，怎样测出这两棵树之间的距离？A一位有经验的师傅是这样操作的：在A

2、B外选一点C，连接AC和BC，分别取AC、BC的中点D、E.量出DE的长度就可以得出AB的长度.他的依据是什么呢？D今天，我们就来学习这方面的知识并解决这个问题。BE（二）讲授新课1.学习三角形的中位线定义如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE.像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。那么，一个三角形有几条中位线？中位线与中线一样吗？AADFE一个三角形有三条中位线.如图DE、EF、FD就是这个三角形的三条中位线。三角形的中位线与中线不一样，中线是连接三角形的顶点与其对边中点的线段。DEEDFCBCB2.学习三角形的中位线定理观

3、察这个图，你能发现△ABC的中位线DE与边BC的关系吗？要探究DE与BC的关系，就是要探究它们之间的位置关系和数量关系。请同学们拿出事先准备好的三角形纸片，量一量测一测DE与BC到底有怎样的关系？然后与同桌讨论。我们猜想：DE∥BC且DE=BC．这只是我们的猜想，要说明它成立要通过推理证明。下面我们对它进行证明。我们先把它的已知和求证来说一下。如图，已知：在△ABC中，DE是△ABC的中位线.。求证：DE∥BC且DE=BC．分析：所证明的结论既有平行关系，又有数量关系，联想已学过的知识，可以把要证明的内容转化到一个平行四边形中，利用平行四边形的对边平行且相等的性质

4、来证明结论成立，从而使问题得到解决，这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形．方法1：如图（1），延长DE到F，使EF=DE，连接CF，由△ADE≌△CFE，可得AD∥FC，且AD=FC，因此有BD∥FC，BD=FC，所以四边形BCFD是平行四边形．所以DF∥BC，DF=BC，因为DE=DF，所以DE∥BC且DE=BC．（也可以过点C作CF∥AB交DE的延长线于F点，证明方法与上面大体相同）你还有另外的证法吗？方法2：如图（2），延长DE到F，使EF=DE，连接CF、CD和AF，又AE=EC，所以四边形ADCF是平行四边形．所以AD∥FC，且AD=FC．因为AD=

5、BD，所以BD∥FC，且BD=FC．所以四边形ADCF是平行四边形．所以DF∥BC，且DF=BC，因为DE=DF，所以DE∥BC且DE=BC．通过上述证明，我们得到三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。用几何语言表示：∵DE是△ABC的中位线∴DE∥BC且DE=BC现在我们就可以回到最开始提出的问题并且得以解决：根据三角形的中位线定理可以得出:AAB=2DE。3.随堂练习如图，点D、E、F分别是△ABC的边AB、AC、BC的中点.（1）若DE=5，则BC=DDE（2）若∠C=70°，则∠EDF=（3）图中有几个平行四边形，几

6、对全等三角形？（4）若△DEF的周长是10，则△ABC的周长是FCB若△ABC的面积是20，则△DEF的面积是（5）试探究AF与DE的关系并说明理由.（三）例题讲解三角形的中位线定理在图形的证明和计算中具有广泛的应用.请看下面这道例题：已知：如图（1），在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．分析：因为已知点E、F、G、H分别是线段的中点，可以设法应用三角形中位线性质找到四边形EFGH的边之间的关系．由于四边形的对角线可以把四边形分成两个三角形，所以添加辅助线，连接AC或BD，构造“三角形中位线”的基

7、本图形后，此题便可得证．证明：连结AC（图（2）），在△DAG中，∵AH=HD，CG=GD，A∴HG∥AC，HG=AC（三角形中位线定理）．同理EF∥AC，EF=AC．HE∴HG∥EF，且HG=EF．∴四边形EFGH是平行四边形．GD变式一：如图，四边形ABCD为凹四边形，其他条件不变.试探究四边形EFGH是否还是平行四边形？说明理由.FCB提示:连接AC或BDHD变式二：如图若AB与CD相交于点O,其他条件不变.试探究四边形EFGH是否还是平行四边形？说明理由.A提示:连接AC或BDADEOEGFCBCB练习：如图,已知DE是△ABC的中位线，请你仅用无刻度的直

8、尺作出BC