专题7.17:圆锥曲线离心率问题的研究与拓展.doc

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时间:2020-01-27

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1、专题7.17:圆锥曲线离心率问题的研究与拓展【课本溯源】(1)人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆.设地球半径为,卫星近地点、远地点离地面的距离分别为,,求卫星轨道的离心率.(2)已知双曲线的两条渐近线的夹角为,求双曲线的离心率.【探究拓展】探究1:离心率的值(1)已知双曲线的一条准线与抛物线的准线重合,则双曲线的离心率是__________.变式:在平面直角坐标系中,若双曲线的离心率为,则m的值为.(2)过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线与该椭圆交于、两点,若,则该椭圆的离心率是_____

2、_____.变式1:已知双曲线的右焦点为,过且斜率为的直线交于、两点,,若,则的离心率为_________.变式2:已知椭圆的离心率为,过右焦点且斜率为()的直线与相交于两点,若,则.(3)如右图,和分别是双曲线的两个焦点,和是以为圆心,以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且△是等边三角形,则双曲线的离心率为________.变式1:椭圆的左右焦点分别为,焦距为,若直线与椭圆的一个交点满足,则该椭圆的离心率为.变式2:设是椭圆:的左、右焦点,为直线上一点,△是底角为的等腰三角形,则的离心率为__

3、_______.变式3:如图,已知椭圆的左、右准线分别为,且分别交轴于两点,从上一点发出一条光线经过椭圆的左焦点被轴反射后与交于点,若,且,则椭圆的离心率等于.(4),分别是双曲线:的左右焦点,是虚轴的端点,直线与的两条渐近线分别交于,两点,线段的垂直平分线与轴交于点.若,则的离心率是__________.变式:已知,分别是双曲线:的左右焦点,点的坐标为,直线与双曲线的两条渐近线分别交于,两点,线段的垂直平分线与轴交于点.若,求双曲线的离心率.(5)设椭圆的左、右顶点分别为,,点在椭圆上且异于,两

4、点,为坐标原点.若直线与的斜率之积为,则椭圆的离心率为________.变式:已知,分别为椭:的左右顶点,椭圆上异于,的点恒满足,则椭圆的离心率为________.探究2:离心率的取值范围(1)已知双曲线的焦距为,离心率为,若点与到直线的距离之和,则的取值范围是.(2)已知双曲线的左、右焦点分别为,,若双曲线上存在点,使,则该双曲线离心率的取值范围是.变式1:已知椭圆的左、右焦点分别为、,若椭圆上存在一点(异于长轴的端点)使,则该椭圆离心率的取值范围为.(答案:)(3)椭圆的右焦点,其右准线与轴的

5、交点为,在椭圆上存在点满足线段的垂直平分线过点,则椭圆离心率的取值范围是______.(4)如图椭圆的中心在坐标原点,顶点分别是,,,,焦点分别是,,延长交于点.若是钝角,则此椭圆的离心率的取值范围是____________.变式1:设双曲线的左准线与两条渐近线交于、两点,左焦点在以为直径的圆内,则该双曲线的离心率的取值范围为.变式2:设,是椭圆的左、右焦点,若在右准线上存在点,使线段的中垂线过点,则椭圆离心率的取值范围是.变式3:点M是椭圆上的点,以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F,圆M与y

6、轴相交于P,Q,若△PQM是钝角三角形,则椭圆离心率的取值范围是________.(5)设,则双曲线的离心率的取值范围是_________.(6),是椭圆:与双曲线的公共焦点,,分别是,在第二、四象限的公共点,若四边形为矩形,则的离心率是________.变式1:共焦点的椭圆与双曲线的离心率分别为,,若椭圆的短轴长为双曲线的虚轴长的2倍,则的最大值为.变式2:已知是椭圆和双曲线的公共焦点,是他们的一个公共点,且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为_________.拓展1:在平面直角坐标系

7、中,椭圆的标准方程为,右焦点为,右准线为,短轴的一个端点为,设原点到直线的距离为,到的距离为.若,则椭圆的离心率为.解:由题意知,所以有两边平方得到,即两边同除以得到,解得,即拓展1:F1F2OxyBCA如图,在平面直角坐标系中,分别是椭圆的左、右焦点,顶点的坐标为,连结并延长交椭圆于点A,过点A作轴的垂线交椭圆于另一点C,连结.(1)若点C的坐标为,且,求椭圆的方程;(2)若求椭圆离心率e的值.解:(1)由题意知,则;则椭圆方程为.点C在椭圆上,故,解得;所求椭圆方程为.(2)解法1:(垂直关系

8、的先行表征)设,由得,由在上,则;联立解得:,在椭圆上,代入椭圆方程整理得,即,所以椭圆的离心率为解法2:(垂直关系的最后表征)由题意知直线方程:,与椭圆联立方程组得:得到,解得,;则;又由可知:,代入化简有,将代入化简得,即,.拓展2:如图,是椭圆C:的左、右顶点,是椭圆上异于的任意一点,已知椭圆的离心率为,右准线的方程为.(1)若,,求椭圆C的方程;(2)设直线交于点,以为直径的圆交于,若直线恰过原点,求.OBAMQPyxl解:(1)由题意:,解得.椭圆的方程为.(2)设,三点

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