在概率的计算中的排列组.doc

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1、预备知识在概率的计算中经常要用到一些排列组合知识，也常常用到牛顿二项式定理。这里罗列一些同学们在中学里已学过的有关公式，并适当作一点推广。一.两个原理1.乘法原理:完成一项工作有m个步骤，第一步有种方法，第二步有种方法，…，第m步有种方法，且完成该项工作必须依次通过这m个步骤，则完成该项工作一共有…种方法，这一原理称为乘法原理。2.加法原理:完成一项工作有m种方式，第一种方式有种方法，第二种方式有种方法，…，第m种方式有种方法，且完成该项工作只需选择这m种方式中的一种，则完成这项工作一共有++…+种方法，这一原理称为加法原理。二.排列:从n个

2、元素里每次取出r个元素，按一定顺序排成一列，称为从n个元素里每次取r个元素的排列，这里n和Z。均为正整数(以下同)。当这n个元素全不相同时，上述的排列称为无重复排列，我们关心的是可以做成多少个排列，即排列数。对于无重复排列，要求当时称为选排列，而当r＝n时称为全排列。我们记排列数分别为即将全排列看成选排列的特例。利用乘法原理不难得到由阶乘的定义由阶乘的定义将上面的n个不同的元素改为n类不同的元素，每一类元素都有无数多个。今从这n类元素中取出r个元素，这r个元素可以有从同一类元素中的两个或两个以上，将取出的这r个元素dl成一列，称为从n类元素中

3、取出r个元素的可重复排列，排列数记作，由乘法原理得显然，此处r可以大于n例3将三封信投入4个信箱，问在下列两种情形下各有几种投法?1)每个信箱至多只许投入一封信；2)每个信箱允许投入的信的数量不受限制。解1)显然是无重复排列问题，投法的种数为2)是可重复排列问题，投法的种数为三、组合从“个元素中每次取出r个元素，构成的一组，称为从n个元素里每次取出r个元素的组合。设这n个元素全不相同，即得所谓无重复组合，我们来求组合数，记作将一个组合中的r个元素作全排列，全排列数为，所有组合中的元素作全排列，共有个排列，这相当于从n个元素里每次取r个元素的选

4、排列，排列总数为故有性质(2)的左端表示从中取出r个的组合数。我们可以固定这n十1个元素中的任意一个，不妨固定于是考察所有取及所有不取。的组合数，前者即从个中取r—1个的组合数，而后者即从个中取r个的组合数类似于可重复排列，也有可重复组合，即从n类不同元素中每次取出r个元素，这r个元素可以从同一类元素中取两个或两例4掷两颗银子可以有多少种点子的排列?多少种点子的组合?解每颗银子各有六面，分别刻有1，2，3，4，5，6个点，掷出的结果可以重复。四、较复杂的排列、组合问题问题1，不全相异元素的全排列将一个包含n个元素的整体分成r个有序的部分，其中

5、第一部分包含个元素，第二部分包含个元素，…，第r部分包含个元素，分法数共有种，上式称为多项式系数。例5将15名新生平均分配到三个班级中去，这15名新生中有3名优秀生。问：1)15名新生平均分配到三个班级中有多少种分法?2)每个班级各分配到一名优秀生有多少种分法?3)3名优秀生分配在同一个班级有多少种分法?解1)15名新生平均分配到三个班级中的分法总数为2)将3名优秀生分配到三个班级使每个班级都有一名优秀生的分法共3!种。对于其中每一种分法，其余12名新生平均到三个班级中的分法共有种，由乘法原理不难得到每个班级各分配到一名优秀牛的分法总数为3)

6、将3名优秀生分配在同一班级内的分法共有3种(因有3个班级)。对于这每一种分法，其余12名新生的分法是将其中的2名分配到已有3名优秀生的班级，而另二个班级各5名，因此分法数为种，由乘法原理得3名优秀生分配在同一班级的分法总数为例：将3个白球、4个红球和4个黑球排成一行．如果颜色相同的球彼此不加区别，问有多少种排法？解：有种排法问题2，不全相异元素的组合仍设有r种不同元素，第一种有个元素，第二种有个元素，…，第r种有个元素，今从这n个元素中，每次取，其取法总数为下列乘积例6由词中的字母，每次择取4个，共有几种不同的选择法?解此词中有8种字母，其中

7、包括3个a，2个m，2个，以及各一个，每次择取4个，故所求的取法数由∴例：要求某学生会主席指定一个委员会，包括5名男生和3名女生，在提供的候选人名单中有10名男生和7名女生。问可能有多少个委员会可供他选择？解在某一委员会中，如果改变委员的顺序，结果仍相同，因此，这是一个求组合的问题。从lo名男生中，主席能选出每组有5名男生的组合数为5．5组合与排列个元素的整体分成r个有序的部分，其中第一部分包含Rt个元素，第二部分包含n2个元素，…，第r部分包含nr个元素，分法数共有组合与排列研究事物的分组与排列，在计算概串方面，它们可以用来决定一切可能情况

8、的总数以及有利情况数。定义5—8每一个集合可以由给定事物的部分或全体组成，可以不管集合中事物的顺序则这一集合称作组合。定义5—9事物的全部集合或部分集合的每一种不同