运用排列、组合公式计算等可能性事件的概率

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1、运用排列、组合公式计算等可能性事件的概率陕西汉中241信箱405学校侯有岐任娟在求解等可能性事件的概率时，基本事件数n和可能事件数m的计算是解题的难点，这里需要综合运用两个计数原理及排列、组合等知识来解决。现分类例析如下：（1）“能否构成”验算法例1从数字1，2，3，4，5中随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数且各位数字之和等于9的概率为（）（A）（B）（C）（D）解析基本事件数，可能事件数可以分类：和为9的三个不重复数为1、3、5与2、3、4组成三位数个数均为；和为9且有重复数字的为3、3、3；1、4、4及5、2、2，它们组成的三位数分别为1个，3个，3个，故

2、可能事件数为，则所求的概率，故选（D）。（2）“随机投放”原理法例2某大楼共九层，6人乘电梯从一楼上楼，中途只下不上，求最高一层恰有两人下的概率。解析根据分步计数原理知基本事件数，根据题意，考虑最高层恰有2人下，则有种，另外7层则有种，即可能事件数为，则所求事件的概率。说明此法也叫“信件投递”法。某些位置可以有多个元素或没有元素，可考虑直接用分类计数原理和分步计数原理解决。（3）“错位排列”问题编号法某些元素要求错位，即不能坐自己对应号码的位置，可采用编号穷举法。例3有7人站在一排照相，重新排队后，其中有4人位置不变的概率是多少？解析7人一排的基本事件数为，从中选取4

3、人位置不变有种，则另外3人不能回到原位，将位置编号为1、2、3；3个人也编号a、b、c，4则只能是1对b,2对c,3对a；或1对c,2对a，3对b两种，符合题意事件数为,故所求事件的概率。（4）“存在”问题二分法对于某个元素存在“取与不取”，“含与不含”的可能，可将问题划分为两个互相独立的事件来考虑，这就是二分法。例4从6名运动员中选取4人参加米接力，则甲不跑第一棒的概率是多少？解析必须对甲是否参加进行分类，若甲参加则为，若甲不参加则为，而从6人中选取4人参赛有，故所求事件的概率。（5）“至多”、“至少”问题考虑分类法或排除法某些元素要求至多或至少有几个，可采用正确分

4、类，准确分步或正难则反、逆向思维。例5在一次口试中,要从10道题中随机抽出3道题进行回答,答对了其中2道题就获得及格。某考生会回答10道题中的6道题,那么他（她）获得及格的概率是多少？解法1要获得及格，须在会答的6道题中至少选2题，故可分成两类：一是从6题中选2题，其余4题中选一题，有种；二是从6题中选3题，有种，而总基本事件数有种,故所求事件的概率。解法2可先求出不及格的种数，再从整体中排除，易得不及格数为，故。（6）“抽取”问题有序法例6甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙二人依次各抽一题。（1）甲抽到选择题，乙抽到

5、判断题的概率是多少？（2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？解析(1)甲抽到选择题,乙抽到判断题有种，又总基本事件数有4种,故所求事件的概率为。(2)甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为,所以甲、乙二人中至少有1人抽到选择题的概率为。（7）“特殊设定”优先法某些元素或某些位置有特殊的作用，解题时必须对这些特殊元素或特殊位置优先考虑。例75个同学任意站成一排，求：甲、乙两人恰好站在两端的概率。解析甲、乙两人恰好站在两端，可优先将甲、乙两人排在两端，有种排法，其余3人进行全排列有种排法，即，又总基本事件数为,故概率为。（8）“邻与不邻”问题考虑捆绑插入法某些元素

6、要求连在一起，可采用捆绑法（即把这些元素看成一个元素，再与其余元素一起排列，同时注意捆绑成的元素内部也可排列）；某些元素要求不能相邻，可采用插入法（先排好没有限制条件的元素，然后将有限制条件的元素按要求插入已经排好的元素之间）。例8(1)3名男生，4名女生站成一排，其中男生和女生各站在一起的概率是多少？（2）由数字1、2、3、4、5组成的没有重复数字的五位数,其中数字1与2不能相邻的概率是多少？解析(1)7人站一排的基本事件数为,其中男生和女生各站在一起有种，故所求事件的概率为。（2）由数字1、2、3、4、5组成的没有重复数字的五位数有个，其中数字1与2不能相邻的有个

7、，所以所求事件的概率为。4（9）“分组”问题组合法分组是一类常见的问题,这类问题包括非均匀分组与均匀分组两种情况,可直接用组合数公式解决.例98支排球队有两支强队,任意8队平均分成两组进行比赛,求这2支强队分在同一组的概率.解析8支队分成甲、乙两组，每组4队，共有种分法,2个强队同在甲组有种分法，同在乙组有种分法，即，故。（10）“特殊概率”问题考虑等可能结果分析某些特殊概率问题可通过分析各种情形发生的等可能性以及发生的结果数来进行求解。例10有A、B、C、D4封信和1号、2号、3号3个信箱，若4封信可以任意投入信箱，投完为止。求A信恰好投入1号或2