1-3行列式按行列展开.ppt

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1、第三节行列式按行（列）展开在n阶行列式det(aij)中，把元素aij所在的第i行和第j列Aij=(−1)i+jMij记成Mij,称为元素aij的余子式.称它为元素aij的代数余子式.划去,剩下的(n−1)2个元素按原来的排法构成的n−1阶行列式,记例1三阶行列式中元素a23的余子式为元素a23的代数余子式为例2四阶行列式中元素x的代数余子式为=5.行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应或行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对或应的代数余子式乘积之和，元素的代数余子式乘积之和等于零.定理3推论即即引理在行列式D中，如果它的第i行中除

2、aij外其余元素都为0,即D=aijAij那么证明先证aij位于第1行，第1列的情形，即由行列式的定义，得再证一般情形，设用互换相邻两行和相邻两列，把aij调到左上角，得行列式利用前面的结果，得于是所以引理成立.定理3行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对证因为或应的代数余子式乘积之和，即椐引理，就得到类似地可得例3计算四阶行列式解按第1列展开，有例4计算四阶行列式解按第1行展开，有对等式右端的两个3阶行列式都按第3行展开，得解c3-c1c4-2c1例5计算四阶行列式第1行提取2，第2行提取−1按第2行展开得按第1行展开r2+r1=−24

3、.c2-c1，c3-c1例6证明范德蒙（Vandermonde）行列式证用数学归纳法.所以当n=2时（）式成立.假设对于n–1阶范德蒙行列式对n阶范德蒙行列式做运算ri–x1ri-1,i=n,n–1,因为等式成立.…2,有按第1列展开后，各列提取公因子(xi-x1)得椐归纳法假设，可得归纳法完成.例7计算行列式解推论行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应或元素的代数余子式乘积之和等于零.即先以3阶行列式为例，因为所以又例如为了证得设行列式D=det(aij)，因为行列式D1中第i行与第j行元素对应相同，把行列式D1按第j行展开，有类似

4、地，也可以证明另一个式子.所以推论的证明取行列式2.会运用行列式按行（列）展开法则及其推论.P33，5(5),7(4),(6).1.要求掌握余式式和代数余子式的定义.小结作业练习1已知求x的余子式和代数余子式.x的余子式M23=−4.x的代数余字式A23=(−1)2+3M23=4.解=-4.由解D中x的一次项的系数等于其元素x的代数余子式A13.=−4,所以D中x的一次项的系数为−4.2.已知行列式求D中x的一次项的系数.3计算n阶行列式解按第一行展开解4.已知行列式=0.类似的也可得1.下述式中（）是五阶行列式中的一项3.计算行列式2.若则

5、x=().