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1、数列中的高考热点问题一、数列求通项常见的考查形式是：（1）公式法（2）对于和的关系转化：，注意和的形式：Eg:（2013年山东高考）设等差数列的前项和为,且,(Ⅰ)求数列的通项公式(Ⅱ)设数列满足,求的前项和.二、数列求和常见查考的方式：（1）公式法(2)裂项求和（3）错位相消求和特别注意广义上的裂项考查：Eg:数列满足，，且=2，则的最小值为．(提示：)三、等差、等比数列的证明Eg1.设数列中的每一项都不为0.证明：为等差数列的充分必要条件是：对任何，都有（等差中项法）Eg2.（2013年北京高考）2.给定数列.对,该
2、数列前项的最大值记为,后项的最小值记为,.(Ⅰ)设数列为3,4,7,1,写出,,的值;(Ⅱ)设()是公比大于1的等比数列,且.证明:,,,是等比数列;(Ⅲ)设,,,是公差大于0的等差数列,且,证明:,,,是等差数列5.（新数列的等差、等比证明）Eg3.已知数列的各项均为正数，数列，满足，．（1）若数列为等比数列，求证：数列为等比数列；（2）若数列为等比数列，且，求证：数列为等比数列．解：（1）因为数列为等比数列，所以（为常数），所以为常数，所以数列为等比数列；（2）因为数列是等比数列，所以（为常数），所以．则．所以，即．
3、因为，所以，则．所以；．所以，即．因为数列是等比数列，所以，即，把代入化简得，所以数列为等比数列．四、由等差、等比数列性质类比得到的新概念数列等差等比数列的外延拓展：①若数列，其中为等差数列，则数列隔项成等差数列.②若数列，其中为等比数列，则数列隔项成等比数列.Eg1.若数列满足：对于，都有（常数），则称数列是公差为的准等差数列．（1）若求准等差数列的公差，并求的前项的和；（2）设数列满足：，对于，都有．①求证：为准等差数列，并求其通项公式；②设数列的前项和为，试研究：是否存在实数，使得数列有连续的两项都等于?若存在，请
4、求出的值；若不存在，请说明理由．5解：（1）数列为奇数时，，为偶数时，，准等差数列的公差为，；（2）①（）（）（）（）-（）得（）．所以，为公差为2的准等差数列．当为偶数时，，当为奇数时，解法一：；解法二：；解法三：先求为奇数时的，再用（）求为偶数时的同样给分．②解：当为偶数时，；当为奇数时，．当为偶数时，，得．由题意，有；或．所以，．Eg2.已知数列的奇数行项是公差为的等差数列，偶数项是公差为的等差数列，是数列的前项和，．（1）若，求；（2）已知，且对任意,有恒成立，求证：数列是等差数列；（3）若，且存在正整数、，使得
5、．求当最大时，数列的通项公式.5Eg3.设数列的前项积为；数列的前项和为（1）设.证明数列成等差数列；求证数列的通项公式；（2）若恒成立，求实数的取值范围.五、数列中的解不等方程问题及与不等式相结合恒成立（或有解）的问题Eg1.已知数列{an}满足：（1）求数列{an}的通项公式；（2）当时，是否存在互不相同的正整数使得成等比数列？若存在，给出满足的条件；若不存在，说明理由；（3）设S为数列{an}的前n项和，若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围。六、数列中的等式恒成立问题Eg1.已知各项均为正数的两个无穷数列、满足．
6、（1）当数列是常数列（各项都相等的数列），且时，求数列的通项公式；（2）设、都是公差不为0的等差数列，求证：数列有无穷多个，而数列惟一确定；（3）设，，求证：．5七、由等差、等比数列生成得到的新数列Eg1.将数列中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：已知表中的第一列数构成一个等差数列，记为，且.表中每一行正中间一个数构成数列，其前项和为.（1）求数列的通项公式；（2）若上表中，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数，且.①求；②记，若集合M的元素个数为3，求实数的取值范围.
7、Eg2.已知数列满足,(1)求数列的通项公式；(2)若对每一个正整数,若将按从小到大的顺序排列后,此三项均能构成等差数列,且公差为.①求的值及对应的数列．②记为数列的前项和，问是否存在,使得对任意正整数恒成立?若存在,求出的最大值；若不存在,请说明理由．5
