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1、.教学内容【知识结构】1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：=q（q≠0）1°“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q)｛｝成等比数列=q（,q≠02°隐含：任一项“≠0”是数列｛｝成等比数列的必要非充分条件．3°q=1时，{an}为常数2.等比数列的通项公式1:3.等比数列的通项公式2:4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．5．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，那么称这个数G为a与b
2、的等比中项.即G=±（a,b同号）如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，则，反之，若G=ab,则，即a,G,b成等比数列∴a,G,b成等比数列G=ab（a·b≠0）6．等比数列的性质：若m+n=p+k，则在等比数列中，m+n=p+q，有什么关系呢？由定义得：..，则7．等比数列的增减性：当q>1,>0或01,<0,或00时,{}是递减数列;当q=1时,{}是常数列;当q<0时,{}是摆动数列;【热身练习】求下列各等比数列的通项公式：1.=-2,=-82.=5,且2=-33.=5,且解：1.
3、2.3.以上各式相乘得：【例题精讲】..例1已知是项数相同的等比数列，求证是等比数列.证明：设数列的首项是，公比为;的首项为，公比为，那么数列的第n项与第n+1项分别为：它是一个与n无关的常数，所以是一个以q1q2为公比的等比数列.例2已知：b是a与c的等比中项，且a、b、c同号，求证：也成等比数列证明：由题设：b2=ac得：∴也成等比数列例3(1)已知{}是等比数列，且,求..(2)a≠c,三数a,1,c成等差数列，成等比数列，求解：(1)∵{}是等比数列，∴＋2＋＝(＋)＝25,又>0,∴＋＝5;(2)∵a,1,c成等差数列,∴a＋c＝2,又a,1,c
4、成等比数列,∴ac＝1,有ac＝1或ac＝－1,当ac＝1时,由a＋c＝2得a＝1,c＝1,与a≠c矛盾，∴ac＝－1,∴.例4已知无穷数列，求证：（1）这个数列成等比数列（2）这个数列中的任一项是它后面第五项的，（3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中证：（1）（常数）∴该数列成等比数列（2），即：（3），∵，∴∴且，∴，（第项）例5设均为非零实数，，..求证：成等比数列且公比为证一：关于的二次方程有实根，∴，∴则必有：，即，∴成等比数列设公比为，则，代入∵，即，即证二：∵∴∴，∴，且∵非零，∴例6．设为数列的前项和，，，其中是常数．（1）求及；（2）
5、若对于任意的，，，成等比数列，求的值．解（1）当，（）经验，（）式成立，（2）成等比数列，，即，整理得：，对任意的成立，例7在等差数列｛an｝中，若a10＝0，则有等式a1+a2+…＋an=a1+a2+…＋a19－n（n＜19，n∈N成立.类比上述性质，相应地：在等比数列｛bn｝中，若b9..＝1，则有等式成立答案：b1b2…bn＝b1b2…b17－n（n＜17，n∈N*）；解：在等差数列｛an｝中，由a10＝0，得a1＋a19＝a2＋a18＝…＝an＋a20－n＝an＋1＋a19－n＝2a10＝0，所以a1＋a2＋…＋an＋…＋a19＝0，即a1＋a2＋
6、…＋an＝－a19－a18－…－an＋1，又∵a1＝－a19，a2＝－a18，…，a19－n＝－an＋1∴a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1＝a1＋a2＋…＋a19－n，若a9＝0，同理可得a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋a17－n，相应地等比数列｛bn｝中，则可得：b1b2…bn＝b1b2…b17－n（n＜17，n∈N*）。【备选例题】例8．如图3—1，在边长为l的等边△ABC中，圆O1为△ABC的内切圆，圆O2与圆O1外切，且与AB，BC相切，…，圆On+1与圆On外切，且与AB、BC..相切，如此无限继续下去.记圆On的面积为an
7、（n∈N*），证明{an}是等比数列；证明：记rn为圆On的半径，则r1=tan30°=。=sin30°=，所以rn=rn－1（n≥2），于是a1=πr12=，故{an}成等比数列。点评：该题考察实际问题的判定，需要对实际问题情景进行分析，最终对应数值关系建立模型加以解析。例9已知数列和满足：a1=λ,an+1=其中λ为实数，n为正整数.（Ⅰ）对任意实数λ，证明数列不是等比数列；（Ⅱ）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论.解：（Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使是等比数列，则有,即矛盾.所以不是等比数列.(Ⅱ)解：因为又,所以当λ＝－18，(∈N+),此
8、时不是等比数列：当λ≠－18时，,由上可知，∴(∈N+).故当λ≠
