2019_2020学年高中数学第6章平面向量的应用课时作业15余弦定理、正弦定理应用举例新人教A版 (2).docx

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1、课时作业15　余弦定理、正弦定理应用举例知识点一距离问题1．如图，从气球A测得济南全运会东荷、西柳两个场馆B，C的俯角分别为α，β，此时气球的高度为h(A，B，C在同一铅垂面内)，则两个场馆B，C间的距离为(　　)A.B.C.D.答案　B解析　在Rt△ADC中，AC＝，在△ABC中，由正弦定理，得BC＝＝.2．一船在海面A处望见两灯塔P，Q在北偏西15°的一条直线上，该船沿东北方向航行4海里到达B处，望见灯塔P在正西方向，灯塔Q在西北方向，则两灯塔的距离为________．答案　(12－4)海里解析　如图，在△ABP中，AB＝4，∠A

2、BP＝45°，∠BAP＝60°，∴∠APB＝75°.∴PA＝＝＝4(－1)．又在△ABQ中，∠ABQ＝45°＋45°＝90°，∠PAB＝60°，∴AQ＝2AB＝8.于是PQ＝AQ－PA＝12－4，∴两灯塔的距离为(12－4)海里．3．太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1km后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________km.答案　解析　如图，∠CAB＝15°，∠CBA＝180°－75°＝105°，∠ACB＝180°－105°－15°＝60°，A

3、B＝1km.由正弦定理得＝，∴BC＝·sin15°＝(km)．设C到直线AB的距离为d，则d＝BC·sin75°＝·＝(km).知识点二测量高度问题4.如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1000m到达点S，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为(　　)A．500mB．200mC．1000mD．1000m答案　D解析　∵∠SAB＝45°－30°＝15°，∠SBA＝∠ABC－∠SBC＝45°－(90°－75°)＝30°，在△ABS中，AB＝＝＝1000(m)，∴BC＝AB·sin45

4、°＝1000×＝1000(m)．5．甲，乙两楼相距20m，从乙楼底仰望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________．答案　20m，m解析　如图所示：在△ABD中，由正弦定理得＝，所以h甲＝AB＝20·＝20(m)，在△AED中，由正弦定理得＝，ED＝20(m)，在△AEC中，由正弦定理得＝，EC＝(m)，所以h乙＝CD＝ED－EC＝(m).知识点三测量角度问题6.甲船在A处发现乙船在北偏东60°的B处，乙船正以anmile/h的速度向北行驶．已知甲船的速度是anmile/h，甲船应沿着_

5、_______方向前进，才能最快与乙船相遇．答案　北偏东30°解析　如图，设经过th两船在C点相遇，则在△ABC中，BC＝atnmile，AC＝atnmile，B＝180°－60°＝120°，由＝，得sin∠CAB＝＝＝.∵0°<∠CAB<60°，∴∠CAB＝30°，∴∠DAC＝60°－30°＝30°.即甲船应沿北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．7．如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方

6、向即沿直线CB前往B处救援，求cosθ的值．解　连接BC.在△ABC中，AB＝40海里，AC＝20海里，∠BAC＝120°，由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800，∴BC＝20海里．由正弦定理＝，得sin∠ACB＝sin∠BAC＝.∵∠BAC＝120°，则∠ACB为锐角，∴cos∠ACB＝.∴cosθ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBcos30°－sin∠ACBsin30°＝×－×＝.易错点忽略审题环节，看图不准确致误8.在某次军事演习中红方为了准确分析战场形势，在两个相距为的军事基地C

7、和D，测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°.如图所示，则蓝方这两支精锐部队的距离为________．易错分析　在解含有两个或两个以上三角形的问题时应先根据条件应用正、余弦定理或三角形内角和定理在一个三角形中求解边和角，然后在此基础上求解另一个三角形，以此类推，首选哪一个三角形至关重要，原则是首选三角形与其他三角形有一定联系，且方便求解，该题图中三角形较多，若审题不细的话易导致计算复杂或者无从下手．答案　a正解　解法一：由题意知∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝60°

8、，又因为∠ACD＝60°，所以∠DAC＝60°.所以AD＝CD＝AC＝a.在△BCD中，∠DBC＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理得＝，所以BD＝CD·＝a·＝a，在△ADB中，由余弦定理得AB2＝AD2＋