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时间:2020-02-25
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1、《高等数学》知识点总结(上册)函数:绝对值得性质:a
2、a
3、(b0)(3)
4、ab
5、=
6、a
7、
8、b
9、(4)
10、
11、=
12、b
13、(1)
14、a+b
15、
16、a
17、+
18、b
19、(2)
20、a‐b
21、
22、a
23、‐
24、b
25、b函数的表示方法:(1)表格法(2)图示法(3)公式法(解析法)函数的几种性质:(1)函数的有界性(2)函数的单调性(3)函数的奇偶性(4)函数的周期性反函数:定理:如果函数yf(x)在区间[a,b]上是单调的,则它的反函数yf1(x)存在,且是单值、单调的。基本初等函数:(1)幂函数(3)对数函数(5)反三角函数复合函数的应用极限与连续性:(2)指数函数(4)三角函数数列的极限:定义:
26、设xn是一个数列,a是一个定数。如果对于任意给定的正数(不管它多么小),总存在正整数N,使得对于n>N的一切xn,不等式xna都成立,则称数a是数列xn的极限,或称数列xn收敛于a,记做limxna,或xna(n)n收敛数列的有界性:定理:如果数列xn收敛,则数列xn一定有界推论:(1)无界一定发散(2)收敛一定有界(3)有界命题不一定收敛函数的极限:定义及几何定义函数极限的性质:limf(x)AA<0),则必存在x0的某一邻域,当x(1)同号性定理:如果xx0,而且A>0(或在该邻域内(点x0可除外),有f(x)0(或f(x)0)。(2)如果limf(x)
27、Ax0xx0f(x)0f(x)0xx0,且在的某一邻域内(),恒有(或),则A0(A0)。limf(x)(3)如果xx0存在,则极限值是唯一的(4)如果limf(x)f(x)x0xx0xx0存在,则在在点的某一邻域内()是有界的。无穷小与无穷大:注意:无穷小不是一个很小的数,而是一个以零位极限的变量。但是零是可作为无穷小的唯一的常数,因为如果f(x)0则对任给的0,总有f(x),即常数零满足无穷小的定义。除此之外,任何无论多么小的数,都不满足无穷小的定义,都不是无穷小。无穷小与无穷大之间的关系:1(1)如果函数f(x)为无穷大,则f(x)为无穷小1(2)如果
28、函数f(x)为无穷小,且f(x)0,则f(x)为无穷大具有极限的函数与无穷小的关系:(1)具有极限的函数等于极限值与一个无穷小的和(2)如果函数可表为常数与无穷小的和,则该常数就是函数的极限关于无穷小的几个性质:定理:(1)有限个无穷小的代数和也是无穷小(2)有界函数f(x)与无穷小a的乘积是无穷小推论:(1)常数与无穷小的乘积是无穷小(2)有限个无穷小的乘积是无穷小极限的四则运算法则:定理:两个函数f(x)、g(x)的代数和的极限等于它们的极限的代数和两个函数f(x)、g(x)乘积的极限等于它们的极限的乘积极限存在准则与两个重要极限:准则一(夹挤定理)设函
29、数f(x)、g(x)、h(x)在xx0的某个邻域内(点x0可除外)满足条件:(1)g(x)f(x)h(x)limg(x)Alimh(x)A(2)xx0,xx0limf(x)A则xx0准则二单调有界数列必有极限定理:如果单调数列有界,则它的极限必存在重要极限:limsinx1lim1cosx1x22(1)x0x(2)x0lim(11)xe1lim(1x)ex(3)xx或x0无穷小阶的定义:设、为同一过程的两个无穷小。(1)如果lim0,则称是比高阶的无穷小,记做o()(2)如果lim,则称是比低阶的无穷小(3)如果limc(c0,c1),则称与是同阶无穷小(4
30、)如果lim1,则称与是等阶无穷小,记做~几种等价无穷小:对数函数中常用的等价无穷小:x0时,ln(1x)~x(x0)loga(1x)~1x(x0)lna三角函数及反三角函数中常用的等价无穷小:1cosx~1x2x0时,sinx~xtanx~x2arcsinx~xarctanx~x指数函数中常用的等价无穷小:x0时,ex1~xax1exlna1~lna二项式中常用的等价无穷小:x0时,(1x)a1~axn1x1~xn函数在某一点处连续的条件:limf(x)f(x)由连续定义xx00可知,函数f(x)在点x0处连续必须同时满足下列三个条件:(1)f(x)在点x
31、0处有定义(2)当xx0f(x)limf(x)时,的极限xx0存在(3)极限值等于函数f(x)在点x0处的函数值f(x0)极限与连续的关系:如果函数f(x)在点x0处连续,由连续定义可知,当xx0时,f(x)的极限一定存在,反之,则不一定成立函数的间断点:分类:第一类间断点(左右极限都存在)第二类间断点(有一个极限不存在)连续函数的和、差、积、商的连续性:定理:如果函数f(x)、g(x)在点x0处连续,则他们的和、差、积、商(分母不为零)在点x0也连续反函数的连续性:定理:如果函数yf(x)在某区间上是单调增(或单调减)的连续函数,则它的反函数x(y)也在对
32、应的区间上是单调增(或单调减)的连续函数最大值与最小
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