高等数学上册知识点

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1、高等数学上册第一章函数与极限（一）函数1、函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、反函数、复合函数、函数的运算；3、初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数；4、函数的连续性与间断点；函数在连续第一类：左右极限均存在。间断点可去间断点、跳跃间断点第二类：左右极限、至少有一个不存在。无穷间断点、振荡间断点5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论。（二）极限1、定义1）数列极限1）函数极限左极限：右极限：1、极限存在准则1）

2、夹逼准则：1）2）2）单调有界准则：单调有界数列必有极限。2、无穷小（大）量1）定义：若则称为无穷小量；若则称为无穷大量。2）无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、阶无穷小Th1;Th2（无穷小代换）1、求极限的方法1）单调有界准则；2）夹逼准则；3）极限运算准则及函数连续性；4）两个重要极限：a)b)5）无穷小代换：（）a)b)c)（）d)（）e)第二章导数与微分（一）导数1、定义：左导数：右导数：函数在点可导1、几何意义：为曲线在点处的切线的斜率。2、可导与连续的关系：3、求导的方法1）导数定义；2

3、）基本公式；3）四则运算；4）复合函数求导（链式法则）；5）隐函数求导数；6）参数方程求导；7）对数求导法。4、高阶导数1）定义：1）Leibniz公式：（一）微分1）定义：，其中与无关。2）可微与可导的关系：可微可导，且第三章微分中值定理与导数的应用（一）中值定理1、Rolle定理：若函数满足：1）；2）；3）；则.2、Lagrange中值定理：若函数满足：1）；2）；则.3、Cauchy中值定理：若函数满足：1）；2）；3）则（一）洛必达法则（二）Taylor公式阶Taylor公式：在与之间.当时，成为阶麦克

4、劳林公式：在与之间.常见函数的麦克劳林公式：1）在与之间，；2）在与之间，；3）在与之间，；4）在与之间，5），在与之间，.（一）单调性及极值1、单调性判别法：，，则若，则单调增加；则若，则单调减少。2、极值及其判定定理：a)必要条件：在可导，若为的极值点，则.a)第一充分条件：在的邻域内可导，且，则①若当时，，当时，，则为极大值点；②若当时，，当时，，则为极小值点；③若在的两侧不变号，则不是极值点。b)第二充分条件：在处二阶可导，且，，则①若，则为极大值点；②若，则为极小值点。2、凹凸性及其判断，拐点1）在区间

5、I上连续，若，则称在区间I上的图形是凹的；若，则称在区间I上的图形是凸的。2）判定定理：在上连续，在上有一阶、二阶导数，则a)若,则在上的图形是凹的；b)若,则在上的图形是凸的。3）拐点：设在区间I上连续，是的内点，如果曲线经过点时，曲线的凹凸性改变了，则称点为曲线的拐点。（一）不等式证明1、利用微分中值定理；2、利用函数单调性；3、利用极值（最值）。（二）方程根的讨论1、连续函数的介值定理；2、Rolle定理；3、函数的单调性；4、极值、最值；5、凹凸性。（三）渐近线1、铅直渐近线：，则为一条铅直渐近线；2、水

6、平渐近线：，则为一条水平渐近线；3、斜渐近线：存在，则为一条斜渐近线。（一）图形描绘步骤:1.确定函数的定义域，并考察其对称性及周期性；2.求并求出及为零和不存在的点；3.列表判别函数的增减及曲线的凹向,求出极值和拐点;4.求渐近线;5.确定某些特殊点,描绘函数图形.第四章不定积分（一）概念和性质1、原函数：在区间I上，若函数可导，且，则称为的一个原函数。2、不定积分：在区间I上，函数的带有任意常数的原函数称为在区间I上的不定积分。3、基本积分表（P188，13个公式）；4、性质（线性性）。（一）换元积分法1、第

7、一类换元法（凑微分）：2、第二类换元法（变量代换）：（二）分部积分法：（三）有理函数积分1、“拆”；2、变量代换（三角代换、倒代换等）。第五章定积分（一）概念与性质：1、定义：2、性质：（7条）性质7（积分中值定理）函数在区间上连续，则，使（平均值：）（一）微积分基本公式（N—L公式）1、变上限积分：设，则推广：2、N—L公式：若为的一个原函数，则（二）换元法和分部积分1、换元法：2、分部积分法：（三）反常积分1、无穷积分：1、瑕积分：（a为瑕点）（b为瑕点）两个重要的反常积分：1)2)第六章定积分的应用（一）平

8、面图形的面积1、直角坐标：1、极坐标：（一）体积1、旋转体体积：a)曲边梯形轴，绕轴旋转而成的旋转体的体积：b)曲边梯形轴，绕轴旋转而成的旋转体的体积：（柱壳法）1、平行截面面积已知的立体：（一）弧长1、直角坐标：2、参数方程：3、极坐标：第七章微分方程（一）概念1、微分方程：表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程。阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的