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1、一章函数与极限1.集合与函数1.1集合的概念具有某种特定性质的事物的的全体。全体非负整数（自然数）构成的集合{0,1,2,3......}记为N。全体正整数构成的集合{1,2,3....}记为。全体整数构成的集合{....-1,0,1,2....}(记为Z).全体实数构成的集合R.1.2基本初等函数和初等函数反对幂指三是基本初等函数.将基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合运算所得到的且能用一个式子表示的函数称为初等函数.1.3极坐标与直角坐标系的关系1.4几种特殊性质的函数(1)有界函数F(x)在x上有界的充分必要条件为:存在常数M>0,使得
2、
3、f(x)
4、≦M,对任意x属于X.这时称风f(x)在x上有一个界.(2)奇偶函数F(x)=f(-x),称为偶函数.F(-x)=-f(x),称为奇函数.(3)周期函数f(x+L)=f(x)恒成立,称f(x)为周期函数.L为f(x)的最小正周期.2.极限2.1数列极限的定义设有数列{},若存在常数a，对任意给定的ε>0,总存在正整数N，当n>N时，恒有
5、-a
6、<ε成立，则数列{}以a为极限。记作:,或().此时称数列收敛于常数a，或简称数列收敛.反之数列没有极限，或称它为发散.2.2数列极限的性质(1)（极限的唯一性）如果数列收敛，那么它的极限必唯一.(2
7、)（有界性）收敛数列必定有界.(3)（保号性）设有数列，分别收敛于a,b,并且b>a,那么存在正整数N，当n>N时，恒有>.(4)设有数列，分别收敛于a,b,并且存在正整数Ｎ，当ｎ＞Ｎ时，恒有，那么（5）数列}收敛于a的充分必要条件是它的任何一个子集数列都收敛于a.2.3函数极限（1）设函数f(x)在的某去心邻域有定义.若存在常数Ａ，使对任给的ε>0，总存在δ＞０，当０＜｜ｘ－｜＜δ时，恒有｜ｆ（ｘ）－Ａ｜＜ε恒成立，则称当时，ｆ（ｘ）以Ａ为极限．记作： ＝Ａ或，当．（２）函数极限的性质 １.（唯一性）如果存在，那么极限是唯一的。 ２.（局部有界
8、性）如果存在，那么存在常数ｍ，Ｍ和δ＞０，使得当０＜｜ｘ－｜＜δ时，恒有 ｍ≦ｆ（ｘ）≦Ｍ． ３．局部保号性 ４.如果函数在的某去心邻域有定义并且＝Ａ．如果是一个在该去心领域取值的数列，（ｎ＝１,2,....)且则有＝Ａ． ５．如果，＝Ｂ，并且存在常数δ＞０，使得当０＜｜ｘ－｜＜δ，有，那么ＡＢ。３极限存在的准则与两个重要极限３.１（夹逼准则）设数列，，满足（１）从某一项起，即存在正整数，当ｎ＞时，恒有≦≦；（２）．那么＝ａ３.２单调有界数列必有界限。３.３两个重要的极限４ 无穷小量与无穷大量 ４.１在自变量的某一变化过程中，ｆ（ｘ）＝Ａ的
9、充分必有条件是ｆ（ｘ）＝Ａ＋φ，其中φ是在自变量同一变化过程中的无穷小。4.2无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量。4.3设α,β为同一过程下的无穷小，且α≠0.如果，称β是比α高阶的无穷小，记作β=o(α)（这时也称α是比β低阶的无穷小）；,称ɑ与β是同阶无穷小；，称ɑ与β是等价无穷小，记作α~β；，称是β关于α的k阶无穷小（其中k是正实数）。4.4无穷小量与无穷大量是倒数关系。4.5几组无穷小等价~x注意：利用等价无穷小代换时必须将一个因式“整体”作代换。5函数的连续性及间断点5.1设函数点的某领域内有定义，若，或，则称函数在点连续。若称在点右连续
10、；若，则称在点左连续；5.2在点连续在点既右连续又左连续。5.3若函数在区间上每一点处都连续，称函数在该区间连续。注意：如果区间包括端点，那么在端点讨论函数的连续性只能是单侧连续。即在左端点右连续，在右端点左连续。5.4函数在点连续必须满足三个条件：（1）在点有定义；（2）在时，有极限；（3）极限的值等于。5.5两类间断点极限存在的是第一类间断点，反之，为第二类间断点。6连续函数的性质与初等函数的连续性6.1若函数，在点皆连续，那么函数,,()在点也是连续的。6.2若函数在区间上单调增加（或单调减少）且连续，那么它的反函数在对应的区间上单调增加（或单调
11、减少）且连续。6.3设函数是由函数与函数复合而成，并且在的某领域内有定义。若（1）函数在点连续，且；（2）函数在点连续则复合函数在点也连续，既有6.4设有复合函数，函数在点的某去心领域内有定义且，而函数f在点连续则有。6.5三个等价无穷小(当时)6.6基本初等函数在其定义域内是连续的。一切初等函数在其定义域内都是连续的。6.7闭区间上的连续函数在该区间上有界，并且一定能取得最大值与最小值。6.8介值定理设函数在闭区间[a,b]上连续，在该区间的两端点处分别取值A,B（A≠B,那么,对A,B之间的任意一个数C，在该区间（a,b)内至少存在一点§使得6.9
12、零点定理设函数在闭区间上连续且和异号（即）那么在开区间内至少存在一点使得通常把满足方程的x的值
