同济六版高等数学上册重要知识点

《同济六版高等数学上册重要知识点》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、高等数学上册重要知识点第一章函数与极限函数的概念1两个无穷小的比较设lim/(x)=O,limg(兀)=0且lim凹=/g(x)(1)1=0,称/'(x)是比g(x)高阶的无穷小，记以/化)=0[g(x)],称刃②是比/仇)低阶的无穷小。(2)I丰0,称/'(x)与gCx)是同阶无穷小。(3)I二1,称与gtr)是等价无穷小，记以/*Cr)~g&)2常见的等价无穷小当x—011寸sinx〜x,tanx〜x,arcsinx〜x,arccosx〜x1-cosx〜"2/2,ex-〜x,ln(l+x)〜x,(l+x)a-1〜ax二求极限的方法1•

2、两个准则准则1・单调有界数列极限一定存在准则2・(夹逼定理)设gCr)

3、+w（—）“+。（旳arctanx=x-^+^-...+(-irx2n+l2〃+l+o(严)3.洛必达法则定理1设函数/⑴、F（x）满足下列条件:(1)limf(x)=0,limF(x)=0；x—>x0•.V—»x0(2)f⑴与F(x)在x°的某一去心邻域内可导，且Fz(x)0；⑶埋需存在（或为无穷大）,这个定理说明：当吧鶏存在时,则im加=lim少XTXoF（X）XTX。F（%）饬竺也存在且等丁lim厶旦；当XFF（X）XT%F（X）埋需为无穷大时‘埋箸也是无穷大•这种在一定条件下通过分了分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为

4、洛必达（Az/7ospital）法则.例1计算极限lim^l・5X解该极限属于“2”型不定式，于是曲洛必达法则，得lim-=lim—=1.xtOxxtO1例2计算极限lim也竺.0ytosinbx该极限屈于“#”型不定式，于是由洛必达法则，得acosax「sinax..acosaxalim=lim=—.入asinhxx->()bcoshxh若•厂(x),g'(x)仍满足定理的条件，则可以继续应用洛必达法则，即rfMr厂(x)../"(x)lim-=lim•,=lim—=…fg(兀)fg(x)fg(x)二型未定式OO定理2设函数/（x）、尸（

5、兀）满足下列条件:（1）(3)limf(x)=g,limF(x)=oo；X—»xo•XTX。f(x)与F(x)在x0的某一去心邻域内可导,且Fx)主0；lim厶®存在(或为无穷大),/(x)_Ax)f°Fx)伽—--lim-^―V7XT%F(x)XT心F(x)XTX(>注：上述关于XTX。时未定式二型的洛必达法则，对于XToo时未定式二型OOOO同样适用.例3计算极限lim罕（w>0）.解所求问题是二型未定式，连续刃次施行洛必达法则，有OOYlim―=limXT2QXXTF=lim吩I"XT+oop'使用洛必达法则时必须注意以下几点:⑴

6、洛必达法则只能适用于晋'和V”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“°”或“二”型才能运用该法则；08（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要.因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在.7.利用导数定义求极限基本公式lim心。+山）一/（"）=八兀。）（如果存在）AytoAy8.利用定积分定义求极限基木格式lim丄V/（-）=ff{x）dx（如果存在）宀nk=ln：三.函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设牝是函数y二/（兀）的间断点。如果/'&）在间断点兀。处的左、右极

7、限都存在,则称x（）（x）的第一类间断点。第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。（2）第二类间断点第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。常见的第二类间断点冇无穷间断点和振荡间断点。四•闭区间上连续函数的性质在闭区间90］上连续的函数/（X）,有以下儿个基本性质。这些性质以后都要用到。定理1・（有界定理）如果函数广（兀）在闭区间［“］上连续，则<3必在［必］上有界。定理2.（最大值和最小值定理）如果函数/'（x）在闭区间［⑦刃上连续，则在这个区间上一定存在最大值M和最小值加o定理3.（介值定理）如果函数f（x）在闭区间［°上］上连

8、续，且其最大值和最小值分别为M和加,则对丁•介丁加和M之间的任何实数c,在［a,b］上至少存在一个E，使得广（E）=c推论：如果函数/'（X）在闭区间［必］上连续，且了⑹与f⑹异