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1、一般的，把含有未知数的等式称为方程《九章算术》第八卷“方程”刘徽注:程,课程也.群物总杂,各列有数,总言其实,令每行为率,二物者再程,三物者三程,皆如物数程之.并列为行,故谓方程.将含有未知数的个数称为“元”，如：+y=2就是一个二元方程，而两个含有2个未知数的方程合在一起，就组成了二元方程组，就是一个二元一次方程组．把未知数的最高次数称为“次”，如就是一个二元二次方程．如果方程组的个数等于未知数的个数，我们就称这个方程为适定方程；如果方程组的个数少于未知数的个数，我们就称这个方程为不定方程；一般的不定方程没有确定解．方程的基本性质：1．方程两边同时加上或减去某个数
2、，等号仍然成立；2．方程两边同时乘以或除以某个非零数，等号仍然成立．在解方程中最常用的一种技巧是移项，将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边的变形叫移项．如3+12=18，可以将12移项为3x=18-12．通过“代人”消去一个未知数，将方程组减少一元来解的方法叫做代入消元法，简称代人法；通过将两个方程相加(或相减)消去一个未知数，将方程组减少一元来解的方法叫做加减消元法，简称加减法．1.小红和小兵一起讨论方程2+3=3+2的解法时，居然得出了2=3．过程如下：小兵写出下式．2(-1)=3(-1),2=3.小红一看，怎么2=371，你能知道为什么吗?【分析
3、与解】注意2+3=3+2这个方程的解为=1，而小兵在计算时方程两边同时除以-1，而-1正好为O，所以小兵在方程两边同时除以0，这是不可以的，所以小兵得出错误的解．评注：等式的两边同乘以或除以一个含有未知数的式子时，一定要确定这个式子所代表的值是否为零．如不能确定则应加以讨论．2．若石是自然数，且满足，试求的值．【分析与解】4-1必须是105的约数，105=3×5×7，当4-1=7时，=2：当4x-1=15时，=4；当4x-1=3时，=1；当4-1=35时，=9．所以只能是105÷(4×9-1)=9-6，即=9．3.试用代入消元法和加减消元法求解方程组【分析与解】代人
4、消元法：由①知Y=7-x，代人②式得3+7-=17．即=5，代入①式，得Y=2，所以加减消元法：②-①得2=10，即=5，代入①式，得Y=2．所以．4．小吴和小林两人解方程组，由手小吴看错了方程①中的而得到方程组的解为,小林看错了方程②中的而得到的解为,如果按正确的、计算，试求出原方程组的解．【分析与解】因为小吴同学没有看错②，所以是符合②的解，有4×7-b×9=1，解得b=3；因为小林同学没有看错①，所以是符合①的解，有×3-2×8=2，解得=6；即原方程组为解得5。解下列方程组【分析与解】4+4y+4z=24，依次代入（1）、（2）（3）有，，，(2)依次叠代有
5、：。所以，，，；（1）+（2）+（3）+（4）+（5）得从上到下每两个方程相加代入有,,，,.6．解方程组：【分析与解】这是一个高达2005元的一次方程组，必须从中发现规律才求出来未知数的值．由所以;所以,所以=,所以所以=于是有==,==令,那么有所以即7假设五家共用一井取水,甲用绳2根不够,差乙家绳子1根;乙用绳3根不够,差丙家绳子1根;丙用绳4根不够,差丁家绳子1根;丁用绳子5根不够,差戊家绳子1根;戊用绳子6根不够,差甲家绳子1根,如果各得所差得绳子1根,都能达到井深,问井深,绳子各长是多少?(井深为小于1000得整数)【分析与解】我们列出方程组,依次设甲,
6、乙,丙,丁,戊家绳长为A,B,C,D,E井深K.依次迭代B=K-2A,C=K-3B=6A-2K,D=K-4C=9K-24A,E=K-5D=120A-44K,代入最后一个式子,6×(120A-44K)+A=K,即721A=265K,所以A=265,K=721.于是B=191,C=148,D=129,E=76.8．一只小虫从A爬到B处．如果它的速度每分钟增加1米，可提前15分钟到达．如果它的速度每分钟再增加2米，则又可提前15分钟到达．那么A处到B处之间的路程是多少米?【分析与解】设小虫的速度为名米／分钟，从A到B所需时间为Y分钟，那么有：化简为解得所以A、B地相距3×
7、60=180米．9。10人围成一圈，每人心里想一个数，并把这个数告诉左右相邻的两个人．然后每个人把左右相邻人告诉自已的数的平均数亮出来，如下图所示，问亮5的人心中想的数是多少?【分析与解】设亮5的人心中想得是,设亮7的心中想得是,设亮9的人心中想的数是设亮11的人心中想的是,设亮13的人心中想的是,于是有：（1）+（2）+（3）+（4）+（5）得，即:（1）+（3）=所以=18,代入（4）得=6,代入（3）得=14,代(2)得y=2,代入(1)得x=10.即当然亮5的人心中想的是10.10．若干学生搬一堆砖，若每人搬五块，则剩下20块未搬走；若每人搬9则最后一名
