2013年高考文科数学陕西卷试题与答案word解析版.doc

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1、2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(陕西卷)19．(2013陕西，文19)(本小题满分12分)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次．根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：组别ABCDE人数5010015015050(1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组抽取了6人，请将其余各组抽取的人数填入下表.组别ABCDE人数5010015015050抽取人数6(2)在(1)中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号

2、歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．19．解：(1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：组别ABCDE人数5010015015050抽取人数36993(2)记从A组抽到的3个评委为a1，a2，a3，其中a1，a2支持1号歌手；从B组抽到的6个评委为b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1号歌手．从{a1，a2，a3}和{b1，b2，b3，b4，b5，b6}中各抽取1人的所有结果为：由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a1

3、b1，a1b2，a2b1，a2b2共4种，故所求概率.20．(2013陕西，文20)(本小题满分13分)已知动点M(x，y)到直线l：x＝4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍．(1)求动点M的轨迹C的方程；(2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A，B两点，若A是PB的中点，求直线m的斜率．20．(1)解：设M到直线l的距离为d，根据题意，d＝2

4、MN

5、.2013陕西文科数学第4页由此得，化简得，所以，动点M的轨迹方程为.(2)解法一：由题意，设直线m的方程为y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)．将y＝

6、kx＋3代入中，有(3＋4k2)x2＋24kx＋24＝0，其中，Δ＝(24k)2－4×24(3＋4k2)＝96(2k2－3)＞0，由求根公式得，x1＋x2＝，①x1x2＝.②又因A是PB的中点，故x2＝2x1，③将③代入①，②得，，可得，且，解得或，所以，直线m的斜率为或.解法二：由题意，设直线m的方程为y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)．∵A是PB的中点，∴，①.②又，③，④联立①，②，③，④解得或即点B的坐标为(2,0)或(－2,0)，所以，直线m的斜率为或.2013陕西文科数学第4页21．(2013陕

7、西，文21)(本小题满分14分)已知函数f(x)＝ex，x∈R.(1)求f(x)的反函数的图像上点(1,0)处的切线方程；(2)证明：曲线y＝f(x)与曲线y＝x2＋x＋1有唯一公共点；(3)设a＜b，比较与的大小，并说明理由．21．解：(1)f(x)的反函数为g(x)＝lnx，设所求切线的斜率为k，∵g′(x)＝，∴k＝g′(1)＝1，于是在点(1,0)处切线方程为y＝x－1.(2)解法一：曲线y＝ex与y＝x2＋x＋1公共点的个数等于函数φ(x)＝ex－x2－x－1零点的个数．∵φ(0)＝1－1＝0，∴φ(x)存在零

8、点x＝0.又φ′(x)＝ex－x－1，令h(x)＝φ′(x)＝ex－x－1，则h′(x)＝ex－1，当x＜0时，h′(x)＜0，∴φ′(x)在(－∞，0)上单调递减．当x＞0时，h′(x)＞0，∴φ′(x)在(0，＋∞)上单调递增．∴φ′(x)在x＝0有唯一的极小值φ′(0)＝0，即φ′(x)在R上的最小值为φ′(0)＝0.∴φ′(x)≥0(仅当x＝0时等号成立)，∴φ(x)在R上是单调递增的，∴φ(x)在R上有唯一的零点，故曲线y＝f(x)与y＝x2＋x＋1有唯一的公共点．解法二：∵ex＞0，x2＋x＋1＞0，∴曲线y

9、＝ex与y＝x2＋x＋1公共点的个数等于曲线与y＝1公共点的个数，设，则φ(0)＝1，即x＝0时，两曲线有公共点．又φ′(x)＝≤0(仅当x＝0时等号成立)，∴φ(x)在R上单调递减，∴φ(x)与y＝1有唯一的公共点，故曲线y＝f(x)与y＝x2＋x＋1有唯一的公共点．(3)＝2013陕西文科数学第4页＝．设函数u(x)＝ex－－2x(x≥0)，则u′(x)＝ex＋－2≥－2＝0，∴u′(x)≥0(仅当x＝0时等号成立)，∴u(x)单调递增．当x＞0时，u(x)＞u(0)＝0.令，则得，∴.2013陕西文科数学第4页