点线面之间的关系教案.doc

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1、第10讲§2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系¤学习目标：了解空间两条直线的三种位置关系，理解异面直线的定义，掌握平行公理，掌握等角定理，掌握两条异面直线所成角的定义及垂直.¤知识要点：1.空间两条直线的位置关系：2.已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）.所成的角的大小与点的选择无关，为了简便，点通常取在异面直线的一条上；异面直线所成的角的范围为，如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直，记作.求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点→平移→定角→计算.

2、¤例题精讲：【例1】已知异面直线a和b所成的角为50°，P为空间一定点，则过点P且与a、b所成角都是30°的直线有且仅有（）.A.1条B.2条C.3条D.4条解：过P作∥a，∥b，若P∈a，则取a为，若P∈b，则取b为．这时，相交于P点，它们的两组对顶角分别为50°和130°.记，所确定的平面为β，那么在平面β内，不存在与，都成30°的直线．过点P与，都成30°角的直线必在平面β外，这直线在平面β的射影是，所成对顶角的平分线．其中射影是50°对顶角平分线的直线有两条l和，射影是130°对顶角平分线的直线不存在．故答案选B.【例2

3、】如图正方体中，E、F分别为D1C1和B1C1的中点，P、Q分别为AC与BD、A1C1与EF的交点.（1）求证：D、B、F、E四点共面；（2）若A1C与面DBFE交于点R，求证：P、Q、R三点共线.证明：（1）∵正方体中，，∴.又∵中，E、F为中点，∴.∴,即D、B、F、E四点共面.（2）∵，，，，∴.又，∴，，∴.即P、Q、R三点共线【例3】已知直线a//b//c，直线d与a、b、c分别相交于A、B、C，求证：a、b、c、d四线共面.证明：因为a//b，由公理2的推论，存在平面，使得.又因为直线d与a、b、c分别相交于A、B、

4、C，由公理1，.假设，则,在平面内过点C作，因为b//c，则，此与矛盾.故直线.综上述，a、b、c、d四线共面.点评：证明一个图形属于平面图形，需要紧扣公理2及其三条推论，寻找题中能确定平面的已知条件.此例拓展的证明先构建出一个平面，然后从假设出发，推出矛盾，矛盾的原因是假设不成立，这就是证明问题的一种反证法的思路.【例4】如图中，正方体ABCD—A1B1C1D1，E、F分别是AD、AA1的中点.（1）求直线AB1和CC1所成的角的大小；（2）求直线AB1和EF所成的角的大小.解：（1）如图，连结DC1，∵DC1∥AB1，∴DC

5、1和CC1所成的锐角∠CC1D就是AB1和CC1所成的角.∵∠CC1D=45°，∴AB1和CC1所成的角是45°.（2）如图，连结DA1、A1C1，∵EF∥A1D，AB1∥DC1，∴∠A1DC1是直线AB1和EF所成的角.∵ΔA1DC1是等边三角形，∴∠A1DC1=60º，即直线AB1和EF所成的角是60º.点评：求解异面直线所成角时，需紧扣概念，结合平移的思想，发挥空间想象力，把两异面直线成角问题转化为与两相交直线所成角，即将异面问题转化为共面问题，运用化归思想将难化易.解题中常借助正方体等几何模型本身的性质，依照选点、平移、

6、定角、计算的步骤，逐步寻找出解答思路.第11讲§2.1.3直线与平面、平面与平面位置关系¤学习目标：了解直线与平面的三种位置关系，理解直线在平面外的概念，了解平面与平面的两种位置关系.¤知识要点：1.直线与平面的位置关系：（1）直线在平面内（有无数个公共点）；（2）直线与平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线与平面平行（没有公共点）.分别记作：；；.2.两平面的位置关系：平行（没有公共点）；相交（有一条公共直线）.分别记作；.¤例题精讲：【例1】已知空间边边形ABCD各边长与对角线都相等，求异面直线AB和CD所成的角的大小.

7、解：分别取AC、AD、BC的中点P、M、N连接PM、PN，由三角形的中位线性质知PN∥AB，PM∥CD，于是∠MPN就是异面直线AB和CD成的角（如图所示）.连结MN、DN，设AB=2，∴PM=PN=1.而AN=DN=，由MN⊥AD，AM=1，得MN=，∴MN2=MP2+NP2，∴∠MPN=90°.∴异面直线AB、CD成90°角.【例2】在空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD的中点，若AC+BD=a，ACBD=b，求.解：四边形EFGH是平行四边形，=2=.ABCDEFGH【例3】已知空间四

8、边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且.求证：（1）E、F、G、H四点共面；（2）三条直线EF、GH、AC交于一点.证明：（1）在△ABD和△CBD中，∵E、H分别是AB和CD的中点，∴EHBD.又∵，∴FGBD.∴EH∥