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时间:2020-02-25
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1、第10讲§2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系¤学习目标:了解空间两条直线的三种位置关系,理解异面直线的定义,掌握平行公理,掌握等角定理,掌握两条异面直线所成角的定义及垂直.¤知识要点:1.空间两条直线的位置关系:2.已知两条异面直线,经过空间任一点作直线,把所成的锐角(或直角)叫异面直线所成的角(或夹角).所成的角的大小与点的选择无关,为了简便,点通常取在异面直线的一条上;异面直线所成的角的范围为,如果两条异面直线所成的角是直角,则叫两条异面直线垂直,记作.求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步:选点→平移→定角→计算.
2、¤例题精讲:【例1】已知异面直线a和b所成的角为50°,P为空间一定点,则过点P且与a、b所成角都是30°的直线有且仅有().A.1条B.2条C.3条D.4条解:过P作∥a,∥b,若P∈a,则取a为,若P∈b,则取b为.这时,相交于P点,它们的两组对顶角分别为50°和130°.记,所确定的平面为β,那么在平面β内,不存在与,都成30°的直线.过点P与,都成30°角的直线必在平面β外,这直线在平面β的射影是,所成对顶角的平分线.其中射影是50°对顶角平分线的直线有两条l和,射影是130°对顶角平分线的直线不存在.故答案选B.【例2
3、】如图正方体中,E、F分别为D1C1和B1C1的中点,P、Q分别为AC与BD、A1C1与EF的交点.(1)求证:D、B、F、E四点共面;(2)若A1C与面DBFE交于点R,求证:P、Q、R三点共线.证明:(1)∵正方体中,,∴.又∵中,E、F为中点,∴.∴,即D、B、F、E四点共面.(2)∵,,,,∴.又,∴,,∴.即P、Q、R三点共线【例3】已知直线a//b//c,直线d与a、b、c分别相交于A、B、C,求证:a、b、c、d四线共面.证明:因为a//b,由公理2的推论,存在平面,使得.又因为直线d与a、b、c分别相交于A、B、
4、C,由公理1,.假设,则,在平面内过点C作,因为b//c,则,此与矛盾.故直线.综上述,a、b、c、d四线共面.点评:证明一个图形属于平面图形,需要紧扣公理2及其三条推论,寻找题中能确定平面的已知条件.此例拓展的证明先构建出一个平面,然后从假设出发,推出矛盾,矛盾的原因是假设不成立,这就是证明问题的一种反证法的思路.【例4】如图中,正方体ABCD—A1B1C1D1,E、F分别是AD、AA1的中点.(1)求直线AB1和CC1所成的角的大小;(2)求直线AB1和EF所成的角的大小.解:(1)如图,连结DC1,∵DC1∥AB1,∴DC
5、1和CC1所成的锐角∠CC1D就是AB1和CC1所成的角.∵∠CC1D=45°,∴AB1和CC1所成的角是45°.(2)如图,连结DA1、A1C1,∵EF∥A1D,AB1∥DC1,∴∠A1DC1是直线AB1和EF所成的角.∵ΔA1DC1是等边三角形,∴∠A1DC1=60º,即直线AB1和EF所成的角是60º.点评:求解异面直线所成角时,需紧扣概念,结合平移的思想,发挥空间想象力,把两异面直线成角问题转化为与两相交直线所成角,即将异面问题转化为共面问题,运用化归思想将难化易.解题中常借助正方体等几何模型本身的性质,依照选点、平移、
6、定角、计算的步骤,逐步寻找出解答思路.第11讲§2.1.3直线与平面、平面与平面位置关系¤学习目标:了解直线与平面的三种位置关系,理解直线在平面外的概念,了解平面与平面的两种位置关系.¤知识要点:1.直线与平面的位置关系:(1)直线在平面内(有无数个公共点);(2)直线与平面相交(有且只有一个公共点);(3)直线与平面平行(没有公共点).分别记作:;;.2.两平面的位置关系:平行(没有公共点);相交(有一条公共直线).分别记作;.¤例题精讲:【例1】已知空间边边形ABCD各边长与对角线都相等,求异面直线AB和CD所成的角的大小.
7、解:分别取AC、AD、BC的中点P、M、N连接PM、PN,由三角形的中位线性质知PN∥AB,PM∥CD,于是∠MPN就是异面直线AB和CD成的角(如图所示).连结MN、DN,设AB=2,∴PM=PN=1.而AN=DN=,由MN⊥AD,AM=1,得MN=,∴MN2=MP2+NP2,∴∠MPN=90°.∴异面直线AB、CD成90°角.【例2】在空间四边形ABCD中,E、H分别是AB、AD的中点,F、G分别是CB、CD的中点,若AC+BD=a,ACBD=b,求.解:四边形EFGH是平行四边形,=2=.ABCDEFGH【例3】已知空间四
8、边形ABCD中,E、H分别是AB、AD的中点,F、G分别是BC、CD上的点,且.求证:(1)E、F、G、H四点共面;(2)三条直线EF、GH、AC交于一点.证明:(1)在△ABD和△CBD中,∵E、H分别是AB和CD的中点,∴EHBD.又∵,∴FGBD.∴EH∥
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